（6）已知 a_ n 是首项为 1 的等比数列， s_ n…——2010 高考数学第 6 题答案解析

【答案】C

【解答】
（5 分）（2010•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列， $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 是 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和，且 $9 S_{3}=S_{6}$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 5 项和为
A．$\frac{15}{8}$ 或 5
B．$\frac{31}{16}$ 或 5
C．$\frac{31}{16}$
D．$\frac{15}{8}$

【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列。
【分析】利用等比数列求和公式代入 $9 \mathrm{~s}_{3}=\mathrm{s}_{6}$ 求得 q ，进而根据等比数列求和公式求得数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 5 项和．

【解答】解：显然 $\mathrm{q} \neq 1$ ，所以 $\frac{9\left(1-\mathrm{q}^{3}\right)}{1-\mathrm{q}}=\frac{1-\mathrm{q}^{6}}{1-\mathrm{q}} \Rightarrow 1+\mathrm{q}^{3}=9 \Rightarrow \mathrm{q}=2$ ，

所以 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，
前 5 项和 $\mathrm{T}_{5}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{31}{16}$ ．
故选：C
【点评】本题主要考查等比数列前 $n$ 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。