【答案】（1）对每个 $n \in N^{*}$，当 $x>0$ 时，$f_{n}^{\prime}(x)=1+\frac{x}{2}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{n}>0$，
则 $f_{n}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调䔎增，
而 $f_{1}(1)=0$，当 $n \geq 2$ 时，$f_{n}(1)=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}>0$，
故 $f_{n}(1) \geq 0$，
又 $f_{n}\left(\frac{2}{3}\right)=-1+\frac{2}{3}+\sum_{k=2}^{n} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{k}}{k^{2}}--\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \sum_{k=2}^{n}\left(\frac{2}{3}\right)$
$$
=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \cdot \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right]}{1-\frac{2}{3}}=-\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}<0
$$
所以对每个 $n \in N^{*}$，存在唯一的 $x_{n} \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$，满足 $f_{x}\left(x_{n}\right)=0$
（1）当 $x>0$ 时，$f_{n+1}(x)=f_{n}(x)+\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}}>f_{n}(x)$，并由①知
$f_{n+1}\left(x_{n}\right)>f_{n}\left(x_{n}\right)=f_{n+1}\left(x_{n+1}\right)=0$
由 $f_{n+1}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递增知，$x_{n+1}<x_{n}$，放 $\left\{x_{n}\right\}$ 为单调迷减数列，
从而对任意 $n, p \in N^{*}, x_{n+p}<x_{n}$
对任意 $p \in N^{*}$，
$$
\begin{aligned}
& f_{n}\left(x_{n}\right)=-1+x_{n}+\frac{x_{n}^{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{x_{2}^{2}}{n^{2}}=0 \\
& f_{n+p}\left(x_{n+p}\right)=-1+x_{n+p}+\frac{x_{n+p}^{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{x_{n+p}^{n}}{n^{2}}+\frac{x_{n+p}^{n+1}}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{x_{n+p}^{n+p}}{(n+p)^{2}}=0
\end{aligned}
$$
①－②并移项，利用 $0<x_{n+p}<x_{n} \leq 1$，得
$$
\begin{aligned}
x_{n}-x_{n+p} & =\sum_{k=2}^{n} \frac{x_{n+p}^{k}-x_{n}^{k}}{k^{2}}+\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{x_{n+p}^{k}}{k^{2}} \leq \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{x_{n+p}^{k}}{k^{2}} \\
& \leq \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{1}{k^{2}}<\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}
\end{aligned}
$$
因此，对任意 $p \in N^{*}, 0<x_{n}-x_{n \cdot p}<\frac{1}{n}$．
【解析】本题考查的是数列函数，而只含双变量，考生在议题的过程中需要冷静的处理好每个变量。第（1）题考查函数的零点问题，要证 F J 对每个 $\mathrm{n} \in N^{*}$，数在某个区间上只有一个零点，一方面要证明函数是单调的，求导即可，另一方面要判断 $,①, f_{n}\left(\frac{2}{3}\right)$ 的正负问题，此题难点在于判断 $f_{n}\left(\frac{2}{3}\right)$ 的正负时，要利用放缩的思想，将榇列函数放组到可以利用等比数列求和，从而证明此函数在指定区间内只有一个零点；第（2）题要讨数列从数吅函数中分离出来，就要通过函数的单调性，由 $f_{n+1}\left(x_{n}\right)>f_{n}\left(x_{n}\right)=f_{n+1}\left(x_{n .}\right)=0, f_{1}(x)$ 在 $(0 \div \infty)$ 内单调谜增，确定 $x_{n+p}<x_{n}$，则不等式左半边成立，右半边通过作差，数列放缩确定最终 $0<x_{n}-x_{n+p}<\frac{1}{n}$．本题属于较难题．
【考点定位】考查函数的导数及其应用，函数零点的判定，等比数列的求和，不等式的放缩等知识。