（12分）设圆 x^ 2 +y^ 2 +2 x-15=0…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【考点】 J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程。

【分析】（ I ）求得圆 $A$ 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得 $E B=E D$ ，再由圆的定义和椭圆的定义，可得 $E$ 的轨迹为以 $A$ ，$B$ 为焦点的椭圆，求得 $a, b, c$ ，即可得到所求轨迹方程；
（II）设直线I：$x=m y+1$ ，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得 $\mid M N \mid$ ，由 $P Q \perp I$ ，设 $P Q: y=-m(x-1)$ ，求得 $A$ 到 $P Q$ 的距离，再由圆的弦长公式

可得 $|P Q|$ ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．

【解答】解：（I ）证明：圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-15=0$ 即为 $(x+1)^{2}+y^{2}=16$ ，
可得圆心 $\mathrm{A}(-1,0)$ ，半径 $\mathrm{r}=4$ ，
由 $B E \| A C$ ，可得 $\angle C=\angle E B D$ ，
由 $A C=A D$ ，可得 $\angle D=\angle C$ ，
即为 $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{EBD}$ ，即有 $\mathrm{EB}=\mathrm{ED}$ ，
则 $|E A|+|E B|=|E A|+|E D|=|A D|=4$ ，
故 $E$ 的轨迹为以 $A$ ，$B$ 为焦点的椭圆，
且有 $2 a=4$ ，即 $a=2, c=1, b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{3}$ ，
则点 $E$ 的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1(y \neq 0)$ ；
（II）椭圆 $\mathrm{C}_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，设直线：$x=m y+1$ ，
由 $P Q \perp I$ ，设 $P Q: ~ y=-m(x-1)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+1 \\ 3 x^{2}+4 y^{2}=12\end{array}\right.$ 可得 $\left(3 m^{2}+4\right) y^{2}+6 m y-9=0$ ，
设 $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{N}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，
可得 $y_{1}+y_{2}=-\frac{6 m}{3 m^{2}+4}, \quad y_{1} y_{2}=-\frac{9}{3 m^{2}+4}$ ，
则 $|M N|=\sqrt{1+m^{2}} \bullet\left|y_{1}-y_{2}\right|=\sqrt{1+m^{2}} \bullet \sqrt{\frac{36 m^{2}}{\left(3 m^{2}+4\right)^{2}}+\frac{36}{3 m^{2}+4}}$
$=\sqrt{1+m^{2}} \cdot \frac{\sqrt{36\left(4 m^{2}+4\right)}}{3 m^{2}+4}=12 \cdot \frac{1+m^{2}}{3 m^{2}+4}$,
$A$ 到 $P Q$ 的距离为 $d=\frac{|-m(-1-1)|}{\sqrt{1+m^{2}}}=\frac{|2 m|}{\sqrt{1+m^{2}}}$ ，
$|P Q|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{16-\frac{4 m^{2}}{1+m^{2}}}=\frac{4 \sqrt{3 m^{2}+4}}{\sqrt{1+m^{2}}}$,
则四边形 $M P N Q$ 面积为 $S=\frac{1}{2}|P Q| \cdot|M N|=\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \sqrt{3 m^{2}+4}}{\sqrt{1+m^{2}}} \cdot 12 \cdot \frac{1+m^{2}}{3 m^{2}+4}$

$=24 \cdot \frac{\sqrt{1+m^{2}}}{\sqrt{3 m^{2}+4}}=24 \sqrt{\frac{1}{3+\frac{1}{1+m^{2}}}}$,
当 $\mathrm{m}=0$ 时， s 取得最小值 12 ，又 $\frac{1}{1+\mathrm{m}^{2}}>0$ ，可得 $\mathrm{s}<24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=8 \sqrt{3}$ ，
即有四边形 $M P N Q$ 面积的取值范围是 $[12,8 \sqrt{3})$ ．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题。