设 f_ n (x)=x+x^ 2 + +x^ n -1,…——2015 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（I）$f_{n}^{\prime}(2)=(n-1) 2^{n}+1$；（II）证明略，详见解析。

## 【解析】

试题分析：（I）由题设 $f_{n}^{\prime}(x)=1+2 x+\cdots+n x^{n-1}$，所以 $f_{n}^{\prime}(2)=1+2 \times 2+\cdots+n 2^{n-1}$，此式等价于数列 $\left\{n \cdot 2^{n-1}\right\}$ 的前 $n$ 项和，由错位相减法求得 $f_{n}^{\prime}(2)=(n-1) 2^{n}+1$；
（II）因为 $f(0)=-1<0, f_{n}\left(\frac{2}{3}\right)=1-2 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{n} \geq 1-2 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}>0$，所以 $f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内至少存在一个零点，又 $f_{n}^{\prime}(x)=1+2 x+\cdots+n x^{n-1}>0$，所以 $f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内单调递增，因此，$f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内有且只有一个零点 $a_{n}$，由于 $f_{n}(x)=\frac{1-x^{n}}{1-x}-1$，所以 $0=f_{n}\left(a_{n}\right)=\frac{1-a_{n}{ }^{n}}{1-a_{n}}-1$，由此可得 $a_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} a_{n}^{n+1}>\frac{1}{2}$，故 $\frac{1}{2}

试题解析：（I）由题设 $f_{n}^{\prime}(x)=1+2 x+\cdots+n x^{n-1}$，
所以 $f_{n}^{\prime}(2)=1+2 \times 2+\cdots+n 2^{n-1}$

由 $2 f_{n}^{\prime}(2)=1 \times 2+2 \times 2^{2}+\cdots+n 2^{n}$
①－②得 $-f_{n}^{\prime}(2)=1+2+2^{2}+\cdots+2^{n-1}-n 2^{n}$

$$ =\frac{1-2^{2}}{1-2}-n \cdot 2^{n}=(1-n) 2^{n}-1 $$

所以 $f_{n}^{\prime}(2)=(n-1) 2^{n}+1$
（II）因为 $f(0)=-1<0$
$f_{n}\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{\frac{2}{3}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right)}{1-\frac{2}{3}}-1=1-2 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{n} \geq 1-2 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}>0$,

所以 $f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内至少存在一个零点，
又 $f_{n}^{\prime}(x)=1+2 x+\cdots+n x^{n-1}>0$
所以 $f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内单调递增，
因此，$f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内有且只有一个零点 $a_{n}$，
由于 $f_{n}(x)=\frac{1-x^{n}}{1-x}-1$，
所以 $0=f_{n}\left(a_{n}\right)=\frac{1-a_{n}^{n}}{1-a_{n}}-1$
由此可得 $a_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} a_{n}^{n+1}>\frac{1}{2}$
故 $\frac{1}{2}所以 $0【考点定位】1．错位相减法；2．零点存在性定理；3．函数与数列．
【名师点睛】（1）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；（2）证明零点的唯一可
以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；
（2）有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域范围内的值域即可；（4）本题属于中档题，要求有较高逻辑思维能力和计算能力。

考生注意：请在 22． 23.24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用 2 B 铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑。