2011_退役省自主命题 (2011·理)
20．（13分）（2011•陕西）如图， A 地到火车站共有两条路径 $\mathrm{L}_{1}$ 和 $\mathrm{L}_{2}$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
| 所用时间（分钟） | $10 \sim 2020 \sim 3030 \sim 4040 \sim 5050 \sim 60$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| $\mathrm{~L}_{1}$ 的频率 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |
| $\mathrm{~L}_{2}$ 的频率 | 0 | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |
现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。
（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（II）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（I）的选择方案，求 X 的分布列和数学期望。
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（I） $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 表示事件＂甲选择路径 $\mathrm{L}_{\mathrm{i}}$ 时，40分钟内赶到火车站＂， $\mathrm{B}_{\mathrm{i}}$ 表示事件＂乙选择路径 $\mathrm{L}_{\mathrm{i}}$ 时， 50 分钟内赶到火车站＂，用频率估计相应的概率 $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right), \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)$ 比较两者的大小，及 $\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right), ~ \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right)$ 的从而进行判断甲与乙路径的选择；
（II） $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 分别表示针对（I）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由 （I）知 $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0.6, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0.9$ ，且甲、乙相互独立， X 可能取值为 $0,1,2$ ，分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可
【解答】解：（I） $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 表示事件＂甲选择路径 $\mathrm{L}_{\mathrm{i}}$ 时，40分钟内赶到火车站＂，
$\mathrm{B}_{\mathrm{i}}$ 表示事件＂乙选择路径Li时， 50 分钟内赶到火车站＂，
$i=1$ ， 2 ．用频率估计相应的概率可得
$\because \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)=0.1+0.2+0.3=0.6$ ，
$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)=0.1+0.4=0.5, \because \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)>\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)$ ，
∴ 甲应选择 $\mathrm{L}_{\mathrm{i}}$ ，
$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8$ ，
$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right)=0.1+0.4+0.4=0.9$ ，
$\because \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right)>\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right), \therefore$ 乙应选择 $\mathrm{L}_{2}$ ．
（II） $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 分别表示针对（I）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，
由（ I ）知 $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0.6, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0.9$ ，
又由题意知， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 独立，
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0.4 \times 0.1=0.04$ ，
$\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \mathrm{B}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{A}) \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})$
$=0.4 \times 0.9+0.6 \times 0.1=0.42$ ，
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=\mathrm{P}(\mathrm{AB})=\mathrm{P}(\mathrm{A})(\mathrm{B})=0.6 \times 0.9=0.54$ ，
X 的分布列：
| X 0 | 1 | 2 | |
|---|---|---|---|
| P | 0.04 | 0.42 | 0.54 |
$\mathrm{EX}=0 \times 0.04+1 \times 0.42+2 \times 0.54=1.5$ ．
【点评】本题主要考查了随机抽样用样本估计总体的应用，相互独立事件的概率的求解，离散型随机变量的数学期望与分布列的求解，属于基本知识在实际问题中的应用。