2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·文) 第 20 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

20．（12分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电流能通过 $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}$ 的概率都是 P ，电流能通过 $\mathrm{T}_{4}$ 的概率是 0.9 ，电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为0．999．
（I）求 P ；

（II）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率．
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Accepted Answer

【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式。 【专题】11：计算题． 【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得 p ． （ II ）根据题意， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过，根据电路图，可得 $\mathrm{B}= A_{4}+\left(1-A_{4}ight) A_{1} A_{3}+\left(1-A_{4}ight)\left(1-A_{1}ight) A_{2} A_{3}$ ，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案。 【解答】解：（ I ）根据题意，记电流能通过 $\mathrm{T}_{\mathrm{i}}$ 为事件 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}, \mathrm{i}=1 、 2 、 3 、 4$ ， $A$ 表示事件：$T_{1}, T_{2}, T_{3}$ ，中至少有一个能通过电流， 易得 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 相互独立，且 $\bar{A}=\bar{A}_{1} \cdot \bar{A}_{2} \cdot \overline{A_{3}}$ ， $P(\bar{A})=(1-p)^{3}=1-0.999=0.001$, 计算可得， $\mathrm{p}=0.9$ ； （II）根据题意， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过， 有 $B=A_{4}+\left(1-A_{4}ight) A_{1} A_{3}+\left(1-A_{4}ight) \quad\left(1-A_{1}ight) A_{2} A_{3}$ ， 则 $P(B)=P\left(A_{4}+\left(1-A_{4}ight) A_{1} A_{3}+\left(1-A_{4}ight)\left(1-A_{1}ight) A_{2} A_{3}ight)$ $=0.9+0.1 	imes 0.9 	imes 0.9+0.1 	imes 0.1 	imes 0.9 	imes 0.9$ $=0.9891$ ． 【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算。

2010 高考数学第 20 题答案解析

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