【答案】（1）
| $\xi$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{5}$ |
$E \xi=\frac{7}{2}$ 。②当 $n=2$ 时，$P(C)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ ，当 $n \geq 3$ 时 $P(C)=\frac{2\left(2+\sum_{k=1}^{n-2} C_{2 k}^{k}\right)}{C_{2 k}^{n}}$
（3）当 $n=2$ 时，$P(C)>P(\bar{C})$ ，当 $n \geq 3$ 时，$P(C)## 【解析】
试题分析：（1）当 $n=3$ 时，将 6 个正整数平均分成 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组，不同的分组方法共有 $C_{6}^{3}=20$ 种，$\xi$ 所有可能
值为 $2,3,4,5$ 对应组数分别为 $4,6,6,4$ ，对应概率为 $\frac{1}{5}, \frac{3}{10}, \frac{3}{10}, \frac{1}{5}, E \xi=2 \times \frac{1}{5}+3 \times \frac{3}{10}+4 \times \frac{3}{10}+5 \times \frac{1}{5}=\frac{7}{2}$ 。② $\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等的所有可能值为 $n-1, n, n+1, \cdots, 2 n-2$ ．当 $\xi$ 和 $\eta$ 怡好相等且等于 $n-1$ 时，不同的分组方法有 2 种；当 $\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等且等于 $n$ 时，不同的分组方法有 2 种；光 $\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等且等于 $n+1$ 时，不同的分组方法有 $2 C_{2}^{1}$ 种；当 $\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等且等于 $n+2$ 时，不同的分组方法有 $2 C_{4}^{2}$ 种；以此类推：$\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等且等于 $n+k(k=1,2, \cdots, n-2),(n \geq 3)$ 时，不同的分组方法在 $-C_{2 k}^{k}$ 种；所以当 $n=2$ 时，$P(C)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$当 $n \geq 3$ 时 $P(C)=\frac{2\left(2+\sum_{k=1}^{n-2} C_{2 k}^{k}\right)}{C_{2 n}^{n}}$（3）先归纳：当 $n=2$ 时，$P(\bar{C})=\frac{1}{3}$ ，因此 $P(C)>P(\bar{C})$ ，当 $n \geq 3$ 时，$P(C)试题解析：（1）当 $n=3$ 时，$\xi$ 所有可能值为 $2,3,4,5$ 将 6 个正整数平均分成 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组，不同的分组方法共有 $C_{6}^{3}=20$ 种，所以 $\xi$ 的分布列为
| $\xi$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{5}$ |
$E \xi=2 \times \frac{1}{5}+3 \times \frac{3}{10}+4 \times \frac{3}{10}+5 \times \frac{1}{5}=\frac{7}{2}$.
②$\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等的所有可能值为 $n-1, n, n+1, \cdots, 2 n-2$
又 $\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等且等于 $n-1$ 时，不同的分组方法有：种；
$\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等且等于 $n$ 时，不同的分组方法有 2 种；
$\xi$ 和 $\eta$ 恰好相等且等于 $n+k(k=1,2, \cdots, n-2),(n \geq 3)$ 时，不同的分组方法有 $2 C_{2 k}^{k}$ 种；
所以当 $n=2$ 时，$P(C)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
当 $n \geq 3$ 时 $P(C)=\frac{2\left(2+\sum_{k=1}^{n-2} C_{2 k}^{k}\right)}{C_{2 k}^{n}}$
③由②当 $n=2$ 时，$P(\bar{C})=\frac{1}{3}$ ，因此 $P(C)>P(\bar{C})$ ，
而当 $n \geq 3$ 时，$P(C)$P(C)用数学归纳法来证明：
1当 $n=3$ 时，（1）式左边 $=4\left(2+C_{2}^{1}\right)=16$ ，（1）式右边 $=C_{6}^{3}=20$ ，所以（1）式成立
2•假设 $n=m(m \geq 3)$ 时（1）式成立，即 $4\left(2+\sum_{k=2}^{m-2} C_{2 k}^{k}\right)那么，当 $n=m+1$ 时，（1）式左边 $=4\left(2+\sum_{k=1}^{n-2} C_{k}^{k}\right)=4\left(2+\sum_{k=1}^{n-2} C_{2 k}^{k}\right)+4 C_{2 n+2}^{n+1}$=\frac{(2 m)!}{m!m!}+\frac{4 \times(2 m-2)!}{(m-1)!(m-1)!}=\frac{(m+1)^{2}(2 m)(2 m-2)!(4 m-1)}{(m+1)!(m+1)!}$
$<\frac{(m+1)^{2}(2 m)(2 m-2)!(4 m)}{(m+1)!(m+1)!}=C_{2 m+2}^{m+1}-\frac{2(m-1) m}{(2 m+1)(2 m-1)}即当 $n=m+1$ 时①式也成立
综合 1 2．得，对于 $n \geq 3$ 的所有正整数，都有 $P(C)考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法