（14分）（2015 • 广东）已知过原点的动直线 l 与…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ．
（1）求圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；
（3）是否存在实数 k ，使得直线 $\mathrm{L}: \mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-4)$ 与曲线
C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．
【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）通过将圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的一般式方程化为标准方程即得结论；
②设当直线 $l$ 的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ ，通过联立直线 $l$ 与圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程，利用根的判别式大于 0 、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（3）通过联立直线 L 与圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程，利用根的判别式 $\Delta=0$ 及轨迹 C 的端点与点（ 4,0 ）决定的直线斜率，即得结论。
【解答】解：①∵ 圆 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-6 \mathrm{x}+5=0$ ，
整理，得其标准方程为：$(x-3)^{2}+y^{2}=4$ ，
∴ 圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的圆心坐标为 $(3,0)$ ；
②设当直线 $l$ 的方程为 $y=k x , A\left(x_{1}, y_{1}\right) , B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，

联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}(x-3)^{2}+y^{2}=4 \\ y=k x\end{array}\right.$ ，
消去 $y$ 可得：$\left(1+k^{2}\right) x^{2}-6 x+5=0$ ，
由 $\triangle=36-4\left(1+k^{2}\right) \times 5>0$ ，可得 $k^{2}<\frac{4}{5}$
由韦达定理，可得 $x_{1}+x_{2}=\frac{6}{1+k^{2}}$ ，
∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{3}{1+\mathrm{k}^{2}} \\ \mathrm{y}=\frac{3 \mathrm{k}}{1+\mathrm{k}^{2}}\end{array}\right.$, 其中 $-\frac{2 \sqrt{5}}{5}<\mathrm{k}<\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为：$\left(\mathrm{x}-\frac{3}{2}\right)^{2}+\mathrm{y}^{2}=\frac{9}{4}$ ，其中 $\frac{5}{3}<\mathrm{x} \leq 3$ ；
（3）结论：当 $\mathrm{k} \in\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{7}, \frac{2 \sqrt{5}}{7}\right) \cup\left\{-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\}$ 时，直线 $\mathrm{L}: \mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-4)$ 与曲线 C 只有一个交点。
理由如下：
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{9}{4}, \\ y=k(x-4)\end{array}\right.$
消去 $y$ ，可得：$\left(1+k^{2}\right) x^{2}-\left(3+8 k^{2}\right) x+16 k^{2}=0$ ，
令 $\Delta=\left(3+8 k^{2}\right)^{2}-4\left(1+k^{2}\right) \cdot 16 k^{2}=0$ ，解得 $\mathrm{k}= \pm \frac{3}{4}$ ，
又 ∵ 轨迹 C 的端点 $\left(\frac{5}{3}, \pm \frac{2 \sqrt{5}}{3}\right)$ 与点 $(4,0)$ 决定的直线斜率为 $\pm \frac{2 \sqrt{5}}{7}$ ，
∴ 当直线 $\mathrm{L}: \mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-4)$ 与曲线 C 只有一个交点时，
k 的取值范围为 $\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{7}, \frac{2 \sqrt{5}}{7}\right) \cup\left\{-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\}$ ．
【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题。