（本小题满分 13 分） 学校游园活动有这样一个游戏项目：…——2011 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分 13 分。
（I）（i）解：设＂在 1 次游戏中摸出 i 个白球＂为事件 $A_{i}=(i=0,1,2,3)$ ，则

$P\left(A_{3}\right)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}}=\frac{1}{5}$.
（ii）解：设＂在 1 次游戏中获奖＂为事件 B ，则 $B=A_{2} \cup A_{3}$ ，又
$P\left(A_{2}\right)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{C_{2}^{2}}{C_{3}^{2}}+\frac{C_{2}^{1} C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}}=\frac{1}{2}$,
且 $\mathrm{A}_{2}, \mathrm{~A}_{3}$ 互斥，所以 $P(B)=P\left(A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$ ．
（II）解：由题意可知 X 的所有可能取值为 $0,1,2$ ．

$$ \begin{aligned} & P(X=0)=\left(1-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{9}{100} \\ & P(X=1)=C_{2}^{1} \frac{7}{10}\left(1-\frac{7}{10}\right)=\frac{21}{50} \\ & P(X=2)=\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100} . \end{aligned} $$

所以 X 的分布列是

$X$ 的数学期望 $E(X)=0 \times \frac{9}{100}+1 \times \frac{21}{50}+2 \times \frac{49}{100}=\frac{7}{5}$.