设 a R，对任意实数 x，记 f(x)=min |x|-…——2022 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $a \geq 10$

【解析】

【分析】设 $g(x)=x^{2}-a x+3 a-5, h(x)=|x|-2$ ，分析可知函数 $g(x)$ 至少有一个零点，可得出 $\Delta \geq 0$ ，求出 $a$ 的取值范围，然后对实数 $a$ 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 $a$ 的不等式，综合可求得实数 $a$ 的取值范围．

【详解】设 $g(x)=x^{2}-a x+3 a-5, h(x)=|x|-2$ ，由 $|x|-2=0$ 可得 $x= \pm 2$ ．
要使得函数 $f(x)$ 至少有 3 个零点，则函数 $g(x)$ 至少有一个零点，则 $\Delta=a^{2}-12 a+20 \geq 0$ ，解得 $a \leq 2$ 或 $a \geq 10$ ．
①当 $a=2$ 时，$g(x)=x^{2}-2 x+1$ ，作出函数 $g(x) , h(x)$ 的图象如下图所示：

此时函数 $f(x)$ 只有两个零点，不合乎题意；
②当 $a<2$ 时，设函数 $g(x)$ 的两个零点分别为 $\boldsymbol{X}_{1} , x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)$ ，
要使得函数 $f(x)$ 至少有 3 个零点，则 $x_{2} \leq-2$ ，
所以，$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}<-2 \\ g(-2)=4+5 a-5 \geq 0\end{array}\right.$ ，解得 $a \in \varnothing$ ；
（3）当 $a=10$ 时，$g(x)=x^{2}-10 x+25$ ，作出函数 $g(x) , h(x)$ 的图象如下图所示：

由图可知，函数 $f(x)$ 的零点个数为 3 ，合乎题意；
（4）当 $a>10$ 时，设函数 $g(x)$ 的两个零点分别为 $x_{3} , x_{4}\left(x_{3}<x_{4}\right)$ ，

要使得函数 $f(x)$ 至少有 3 个零点，则 $x_{3} \geq 2$ ，

可得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}>2 \\ g(2)=4+a-5 \geq 0\end{array}\right.$ ，解得 $a>4$ ，此时 $a>10$ ．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[10,+\infty)$ ．

故答案为：$[10,+\infty)$ ．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．