（5分）在平面直角坐标系 x O y 中，双曲线 x^ 2…——2017 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>0$ ，$b>0$ ）的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2}=2 p y ~(p>0) ~$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $|A F|+\mid B F |=4| O F \mid$ ，则该双曲线的渐近线方程为 $\underline{y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x}$ ． ．
【解答】解：把 $x^{2}=2 p y(p>$
可得：$a^{2} y^{2}-2 p b^{2} y+a^{2} b^{2}=0$,
$\therefore y_{A}+y_{B}=\frac{2 p b^{2}}{a^{2}}$ ，
$\because|A F|+|B F|=4|O F|, \quad \therefore y_{A}+y_{B}+2 \times \frac{p}{2}=4 \times \frac{p}{2}$,
$\therefore \frac{2 \mathrm{pb}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=\mathrm{p}$,

$\therefore \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
∴ 该双曲线的渐近线方程为： $\mathrm{y}= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{x}$ ．
故答案为：$y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ 。