（10分）（2014 •江苏）已知函数 f_ 0 (x)=…——2014 高考数学第 26 题答案解析

【解答】
（10分）（2014•江苏）已知函数 $f_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}(x>0)$ ，设 $f_{n}(x)$ 为 $f_{n-1}(x)$ 的导数， $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ．
（1）求 $2 f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2} f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的值；
（2）证明：对任意 $n \in N^{*}$ ，等式 $\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4} f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 都成立。

考点 三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．
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专题 函数的性质及应用；三角函数的求值．
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分析①由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为： $\mathrm{xf}_{0}$
：$\quad(x)=\sin x$ ，然后两边求导后根据条件两边再求导得： $2 f_{1}(x)+x f_{2}(x)=-\sin x$ ，把 $x=\frac{\pi}{2}$ 代入式子求值；
②由①得，$f_{0}(x)+x f_{1}(x)=\cos x$ 和 $2 f_{1}(x)+x f_{2}(x)=-\sin x$ ，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把 $x=\frac{\pi}{4}$ 代入所给的式子求解验证。
解答 解：（1）$\because f_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}, \therefore x f_{0}(x)=\sin x$ ，
则两边求导，$\left[\mathrm{xf}_{0}(\mathrm{x})\right]^{\prime}=(\sin \mathrm{x})^{\prime}$ ，
$\because f_{n}(x)$ 为 $f_{n-1}(x)$ 的导数，$n \in N^{*}$ ，
$\therefore f_{0}(x)+x f_{1}(x)=\cos x$ ，
两边再同时求导得， $2 f_{1}(x)+x f_{2}(x)=-\sin x$ ，
将 $x=\frac{\pi}{2}$ 代入上式得， $2 f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2} f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$ ，

②由①得，$f_{0}(x)+x f_{1}(x)=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ ，
恒成立两边再同时求导得， $2 f_{1}(x)+x f_{2}(x)=-\sin x=\sin (x+\pi)$ ，再对上式两边同时求导得， $3 f_{2}(x)+x f_{3}(x)=-\cos x=\sin \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)$ ，同理可得，两边再同时求导得， $4 f_{3}(x)+x f_{4}(x)=\sin x=\sin (x+2 \pi)$ ，猜想得，$n f_{n-1}(x)+x f_{n}(x)=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：
（1）当 $n=1$ 时，$f_{0}(x)+x f_{1}(x)=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 成立，则上式成立；
（2）假设 $n=k\left(k>1\right.$ 且 $\left.k \in N^{*}\right)$ 时等式成立，即
$k f_{k-1}(x)+x f_{k}(x)=\sin \left(x+\frac{k \pi}{2}\right)$,
$\because\left[k f_{k-1}(x)+x f_{k}(x)\right]^{\prime}=k f_{k-1}{ }^{\prime}(x)+f_{k}(x)+x f_{k}{ }^{\prime}(x)$
$=(\mathrm{k}+1) \mathrm{f}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})+\mathrm{xf}_{\mathrm{k}+1}(\mathrm{x})$
又 $\left[\sin \left(x+\frac{k \pi}{2}\right)\right]^{\prime}=\cos \left(x+\frac{k \pi}{2}\right) \cdot\left(x+\frac{k \pi}{2}\right)^{\prime}$
$=\cos \left(x+\frac{k \pi}{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}+x+\frac{k \pi}{2}\right)=\sin \left[x+\frac{(k+1) \pi}{2}\right]$ ，
∴ 那么 $n=k+1 ~\left(k>1\right.$ 且 $\left.k \in N^{*}\right) ~$ 时．等式
（k＋1）$f_{k}(x)+x f_{k+1}(x)=\sin \left[x+\frac{(k+1) \pi}{2}\right]$ 也成立，
由①②得，$n f_{n-1}(x)+x f_{n}(x)=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，
令 $x=\frac{\pi}{4}$ 代入上式得，$n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4} f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{n \pi}{2}\right)= \pm \cos \frac{\pi}{4}= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
所以，对任意 $n \in N^{*}$ ，等式 $\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4} f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 都成立。
点评 本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法
：证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力。