导数的计算　·　历年高考数学真题与解析

6．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2 \sin x}{1+x^{2}}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

8．曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ 在点 $\left(1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为（ ）

12．设 $a \neq 0$ ，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则

10．曲线 $y=2 \sin x+\cos x$ 在点 $(\pi,-1)$ 处的切线方程为

11．曲线 $y=\cos x-\frac{x}{2}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

13．曲线 $y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．曲线 $y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知曲线 $y=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$ ，则

（10）若函数 $e^{x} f(x)(e=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是

10．（5分）已知 $a \in R$ ，设函数 $f(x)=a x-\ln x$ 的图象在点（1，$f(1)$ ）处的切线为 1 ，则 1 在 $y$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$。

11．（5分）若 $x=-2$ 是函数 $f(x)=\left(x^{2}+a x-1\right) e^{x-1}$ 的极值点，则 $f(x)$ 的极小值为（）

14．（5分）曲线 $y=x^{2}+\frac{1}{x}$ 在点（1，2）处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $x-y+1=0$。

10．（5 分）（2016 •山东）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是

6．已知 $a$ 函数 $f(x)=x^{3}-12 x$ 的极小值点，则 $a=$

10．曲线 $y=e^{-5 x}+2$ 在点 $(0,3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

11．若曲线 $y=x \ln x$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2 x-y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．

14．如图，在边长为 $e$（ $e$ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 $\_\_\_\_$。

26．（10分）（2014 •江苏）已知函数 $f_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}(x>0)$ ，设 $f_{n}(x)$ 为 $f_{n-1}(x)$ 的导数， $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ．
（1）求 $2 f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2} f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的值；
（2）证明：对任意 $n \in N^{*}$ ，等式 $\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4} f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 都成立。

## 2014年江苏省高考数学试卷

7．（5分）曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}-1}$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率等于（ ）

12．（2013广东，文12）若曲线 $y=a x^{2}-\ln x$ 在 $(1, a)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

（19）（本小题满分 13 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{2}+a_{4}=8$，且对任意 $n \in N^{*}$，函数

$f(x)=\left(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}\right) x+a_{n+1} \cdot \cos x-a_{n+2} \cdot \sin x \quad$ 满足 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b_{n}=2\left(a_{n}+\frac{1}{2^{a_{n}}}\right)$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

12．曲线 $y=x^{3}-x+3$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

20．（本小题满分 13 分）
设 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x$ ．
（1）如果 $g(x)=f^{\prime}(x)-2 x-3$ 在 $x=-2$ 处取得最小值 -5 ，求 $f(x)$ 的解析式；
（2）如果 $m+n<10\left(m, n \in N_{+}\right), f(x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，的值．（注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b-a$ ）

## 21．（本小题满分 14 分）

（1）已知两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，满足 $a_{1}=a(a>0), b_{1}-a_{1}=1, b_{2}-a_{2}=2, b_{3}-a_{3}=3$ ，

若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 唯一，求 $a$ 的值；
（2）是否存在两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，使得 $b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}, b_{4}-a_{4}$ 成公差不为 0的等差数列？若存在，求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；若不存在，说明理由．

## 2011年江西高考文科数学真题及答案

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．

## 考生注意：

7．曲线 $y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}$ 在点 $\mathrm{M}\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处的切线的斜路为

10．（5分）若曲线 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 在点（ $a, a^{-\frac{1}{2}}$ ）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 ，则 $\mathrm{a}=$（ ）

17．（本小题满分 12 分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。
（I）求直方图中 $x$ 的值．

（II）在棱 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 上是否存在一点 F ，使 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ ？证明你的结论．

图5

## 19．（本小题满分 13 分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（图6）。在直线 $x=2$ 的右侧，考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} \mathrm{~km}$ 的区域；在直线 $x=2$ 的左侧，考察范围为到 $A, B$ 两点的距离之和不超过 $4 \sqrt{5} \mathrm{~km}$ 的区域。
（I）求考察区域边界曲线的方程；
（II）如图6所示，设线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 是冰川的部分边界线 （不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km ，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所

图6

## 20．（本小题满分 13 分）

已知函数 $f(x)=x^{2}+b x+c(b, c \in R)$ ，对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f^{\prime}(x) \leq f(x)$ ．

（I）证明：当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq(x+c)^{2}$ ；
（II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 $f(c)-f(b) \leq M\left(c^{2}-b^{2}\right)$ 恒成立，求 M的最小值．

## 21．（本小题满分 13 分）

数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 中，$a_{1}=a, a_{n+1}$ 是函数 $f_{n}(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}\left(3 a_{n}+n^{2}\right) x^{2}+3 n^{2} a_{n} x$ 的极小值点。
（I）当 $a=0$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（II）是否存在 $a$ ，使数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

## 2010年湖南省高考数学试卷（理科）

5．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{8}=4$ ，函数 $f(x)=x\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{8}\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$

12．（5 分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为（ ）

（13）曲线 $y=x e^{x}+2 x+1$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

16．（4分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为一 $\frac{1}{\mathrm{n}+1}$ —。

（20）（满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\left(x^{2}+a x-2 a^{2}+3 a\right) e^{x}(x \in R)$ ，其中 $a \in R$
①当 $a=0$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线的斜率；
②当 $a \neq \frac{2}{3}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值。

21．（2009 浙江理 21）已知椭圆 $C_{1}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A(1,0)$ ，过 $C_{1}$ 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 。
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；
（II）设点 $P$ 在抛物线 $C_{2}: y=x^{2}+h(h \in \boldsymbol{R})$ 上，$C_{2 \text { 在点 } P \text { 处的切线与 } C_{1} \text { 交于点 }} M, N$ 当线段 $A P$ 的中点与 $M N$ 的中点的横坐标相等时，求 $h$ 的最小值。

4．（5分）函数 $y=\frac{x}{2 x-1}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为（ ）

5．设函数 $f(x)=g(x)+x^{2}$ ，曲线 $y=g(x)$ 在点 $(1, g(1))$ 处的切线方程为 $y=2 x+1$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处切线的斜率为

8．函数 $f(x)=(x-3) e^{x}$ 的单调递增区间是

4．（5分）曲线 $y=x^{3}-2 x+4$ 在点（1，3）处的切线的倾斜角为