21．（12分）设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-(1+a) x^{2}+4 a x+24 a$ ，其中常数 $a>1$ ，
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
（12分）设函数 f(x)= 1 3 x^ 3 -(1+a…——2009 高考数学第 21 题答案解析
2009_旧全国 II 卷 (2009·文)
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【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】①先对函数进行求导，根据导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减可确定函数的单调性．
②先将问题转化为求函数在 $x \geq 0$ 时的最小值问题，再结合①中的单调性可确定 $f(x)$ 在 $x=2 a$ 或 $x=0$ 处取得最小值，求出最小值，即可得到 $a$ 的范围。
【解答】解：（1）$f^{\prime}(x)=x^{2}-2(1+a) x+4 a=(x-2)(x-2 a)$
由 $a>1$ 知，当 $x<2$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，
故 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 2)$ 是增函数；
当 $2<x<2 a$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，
故 $f(x)$ 在区间 $(2,2 a)$ 是减函数；
当 $x>2 a$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，
故 $f(x)$ 在区间 $(2 a,+\infty)$ 是增函数．
综上，当 $a>1$ 时，$f(x)$ 在区间 $(-\infty, 2)$ 和 $(2 a,+\infty)$ 是增函数，在区间 $(2,2 a)$ 是减函数．
②由①知，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=2 a$ 或 $x=0$ 处取得最小值。
$f(2 a)=\frac{1}{3}(2 a)^{3}-(1+a)(2 a)^{2}+4 a \cdot 2 a+24 a=-\frac{4}{3} a^{3}+4 a^{2}+24 a, f(0)=24 a$
由假设知 $\left\{\begin{array}{l}a>1 \\ f(2 a)>0 \\ f(0)>0\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}a>1 \\ -\frac{4}{3} a(a+3)(a-6)>0 \text { 解得 } 1<a<6 \\ 24 a>0 .\end{array}\right.$
故 a 的取值范围是（ 1,6 ）
【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性。
✅ 来源：2009年 · 全国 · 2009_旧全国 II 卷 (2009·文) · 第 21 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}}{2 x}+\ln x(x>0)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a, b)$ ．证明：
（i）若 $a>\mathrm{e}$ ，则 $0<b-f(a)<\frac{1}{2}\left(\frac{a}{\mathrm{e}}-1\right)$ ；
（ii）若 $0<a<\mathrm{e}, x_{1}<x_{2}<x_{3}$ ，则 $\frac{2}{\mathrm{e}}+\frac{\mathrm{e}-a}{6 \mathrm{e}^{2}}<\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{3}}<\frac{2}{a}-\frac{\mathrm{e}-a}{6 \mathrm{e}^{2}}$ ．
（注： $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）
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（14分）（2016•天津）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1)^{3}-\mathrm{ax}-\mathrm{b}, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}$，其中 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}$。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 存在极值点 $x_{0}$，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)$，其中 $x_{1} \neq x_{0}$，求证：$x_{1}+2 x_{0}=3$；
③设 $\mathrm{a}>0$，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=|\mathrm{f}(\mathrm{x})|$，求证： $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$．
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已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．