2009 全国高考数学 2009_旧全国 II 卷 (2009·文) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（12分）设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-(1+a) x^{2}+4 a x+24 a$ ，其中常数 $a>1$ ，
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

Accepted Answer

【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性． 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】①先对函数进行求导，根据导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减可确定函数的单调性． ②先将问题转化为求函数在 $x \geq 0$ 时的最小值问题，再结合①中的单调性可确定 $f(x)$ 在 $x=2 a$ 或 $x=0$ 处取得最小值，求出最小值，即可得到 $a$ 的范围。 【解答】解：（1）$f^{\prime}(x)=x^{2}-2(1+a) x+4 a=(x-2)(x-2 a)$ 由 $a>1$ 知，当 $x 0$ ， 故 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 2)$ 是增函数； 当 $2 2 a$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ， 故 $f(x)$ 在区间 $(2 a,+\infty)$ 是增函数． 综上，当 $a>1$ 时，$f(x)$ 在区间 $(-\infty, 2)$ 和 $(2 a,+\infty)$ 是增函数，在区间 $(2,2 a)$ 是减函数． ②由①知，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=2 a$ 或 $x=0$ 处取得最小值。 $f(2 a)=\frac{1}{3}(2 a)^{3}-(1+a)(2 a)^{2}+4 a \cdot 2 a+24 a=-\frac{4}{3} a^{3}+4 a^{2}+24 a, f(0)=24 a$ 由假设知 $\left\{\begin{array}{l}a>1 \ f(2 a)>0 \ f(0)>0\end{array}ight.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a>1 \ -\frac{4}{3} a(a+3)(a-6)>0 	ext { 解得 } 1 0 .\end{array}ight.$ 故 a 的取值范围是（ 1,6 ） 【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性。

2009 高考数学第 21 题答案解析

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