2016_新课标 II 卷 (2016·理)
17．（12分）$S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1}=1, S_{7}=28$ ，记 $b_{n}=\left[\lg a_{n}\right]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[\lg 99]=1$ 。
（I）求 $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{11}, \mathrm{~b}_{101}$ ；
（II）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 1000 项和。
【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和．
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列
【分析】（I）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解 $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{11}, \mathrm{~b}_{101}$ ；
（II）找出数列的规律，然后求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 1000 项和．
【解答】解：（I）$S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1}=1, S_{7}=28,7 a_{4}=28$ ．
可得 $a_{4}=4$ ，则公差 $d=1$ ．
$\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}$,
$\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=[\operatorname{lgn}]$ ，则 $\mathrm{b}_{1}=[\lg 1]=0$ ，
$\mathrm{b}_{11}=[\lg 11]=1$,
$\mathrm{b}_{101}=[\lg 101]=2$ ．
（II）由（I）可知： $\mathrm{b}_{1}=\mathrm{b}_{2}=\mathrm{b}_{3}=\ldots=\mathrm{b}_{9}=0, \mathrm{~b}_{10}=\mathrm{b}_{11}=\mathrm{b}_{12}=\ldots=\mathrm{b}_{99}=1$ ．
$b_{100}=b_{101}=b_{102}=b_{103}=\ldots=b_{999}=2, b_{10,00}=3$ ．
数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 1000 项和为： $9 \times 0+90 \times 1+900 \times 2+3=1893$ ．
【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力。