已知 a_ n 是等差数列， a_ 2 +a_ 5 =16…——2023 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①$a_{n}=2 n+1, \sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}=3 \times 2^{2 n-1}$ ；
②（I）证明见解析；（II）$b_{n}=2^{n}$ ，前 $n$ 项和为 $2^{n+1}-2$ ．

## 【解析】

【分析】①由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得 $a_{1}=3, d=2$ ，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前 $n$ 项和公式计算可得 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}=3 \times 2^{2 n-1}$ ．
②（I）利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ 时，$b_{k}（II）结合（I）中的结论猜想 $b_{n}=2^{n}$ ，然后分别排除 $q>2$ 和 $q<2$ 两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前 $n$ 项和公式即可计算其前 $n$ 项和．

## 【小问 1 详解】

由题意可得 $\left\{\begin{array}{c}a_{2}+a_{5}=2 a_{1}+5 d=6 \\ a_{5}-a_{3}=2 d=4\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=3 \\ d=2\end{array}\right.$ ，
则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d=2 n+1$ ，
注意到 $a_{2^{n-1}}=2 \times 2^{n-1}+1=2^{n}+1$ ，从 $a_{2^{n-1}}$ 到 $a_{2^{n}-1}$ 共有 $2^{n}-1-2^{n-1}+1=2^{n-1}$ 项，
故 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}=2^{n-1} \times\left(2^{n}+1\right)+\frac{2^{n-1}\left(2^{n-1}-1\right)}{2} \times 2=2^{2 n-1}+2^{n-1}+2^{2 n-2}-2^{n-1}=3 \times 2^{2 n-1}$ ．

## 【小问 2 详解】

（I）由题意可知，当 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ 时，$b_{k}取 $n=2^{k-1}$ ，则 $b_{k}当 $2^{k-2} \leq n \leq 2^{k-1}-1$ 时，$\quad a_{n}取 $n=2^{k-1}-1$ ，此时 $a_{n}=a_{2^{k-1}-1}=2\left(2^{k-1}-1\right)+1=2^{k}-1$ ，
据此可得 $2^{k}-1综上可得： $2^{k}-1（II）由（I）可知： $1

据此猜测 $b_{n}=2^{n}$ ，
否则，若数列的公比 $q>2$ ，则 $b_{n}=b_{1} q^{n-1}>b_{1} \times 2^{n-1}>2^{n-1}$ ，
注意到 $2^{n-1}-\left(2^{n}-1\right)=1-2^{n-1}$ ，则 $2^{n-1}-\left(2^{n}-1\right)>0$ 不恒成立，即 $2^{n-1}>2^{n}-1$ 不恒成立，

此时无法保证 $2^{n}-1若数列的公比 $q<2$ ，则 $b_{n}=b_{1} q^{n-1}注意到 $3 \times 2^{n-1}-\left(2^{n}+1\right)=2^{n-1}-1$ ，则 $2^{n-1}-1<0$ 不恒成立，即 $3 \times 2^{n-1}<2^{n}+1$ 不恒成立，
此时无法保证 $b_{n}<2^{n}+1$ ，
综上，数列的公比为 2 ，则数列的通项公式为 $b_{n}=2^{n}$ ，
其前 $n$ 项和为：$S_{n}=\frac{2 \times\left(1-2^{n}\right)}{1-2}=2^{n+1}-2$ ．
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前 $n$ 项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益。