19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}<a_{n}<b_{k+1}$ ，
（I）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k}-1<b_{k}<2^{k}+1$ ；
（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和。
参考答案
①$a_{n}=2 n+1, \sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}=3 \times 2^{2 n-1}$ ； ②（I）证明见解析；（II）$b_{n}=2^{n}$ ，前 $n$ 项和为 $2^{n+1}-2$ ． ##