（12 分）（2008•四川）已知随圆 C _ 1 的中心…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；等比数列的性质；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程。
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（I）设 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ ，由题意知 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{cx}$ 。由条件知 $\mathrm{a}=2 \mathrm{c} . \mathrm{C}_{1}$ 的右准线方程为 $\mathrm{x}=4 \mathrm{c} . \mathrm{C}_{2}$ 的准线方程为 $\mathrm{x}=-\mathrm{c}$ ．
由条件知 $c=3, a=6, b=3 \sqrt{3}$ ．由此可知 $C_{1}: \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1, C_{2}: y^{2}=12 x$ ．
（II）由题设知 1： $\mathrm{y}=\mathrm{x}-\mathrm{c}$ ，设 $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{N}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right), \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{3}, \mathrm{y}_{3}\right), \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{4}, \mathrm{y}_{4}\right)$ 。由
$\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 c x \\ y=x-c\end{array}\right.$ ，得 $x^{2}-6 c x+c^{2}=0$ ，所以 $x_{1}+x_{2}=6 c$ ．而 $|M N|=|M F|+|F N|=x_{1}+x_{2}+2 c=8 c$ ，由条件
$|M N|=8$ ，得 $c=1$ ．由此可知 $|P Q|=\sqrt{2\left(x_{3}-x_{4}\right)^{2}}=\sqrt{2\left[\left(\frac{8}{7}\right)^{2}+4 \cdot \frac{8}{7}\right]}=\frac{24}{7}$ ．
【解答】解：（I ）设 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ ，其半焦距为 $\mathrm{c}(\mathrm{c}>0)$ ．则 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{cx}$ ．由条件知 $(2 b)^{2}=2 a\left(\frac{a^{2}}{c}-c\right)$ ，得 $a=2 c$ ．$C_{1}$ 的右准线方程为 $x=\frac{a^{2}}{c}$ ，即 $x=4 c . C_{2}$ 的准线方程为 $\mathrm{x}=-\mathrm{c}$ 。
由条件知 $5 \mathrm{c}=15$ ，所以 $\mathrm{c}=3$ ，故 $\mathrm{a}=6, \mathrm{~b}=3 \sqrt{3}$ ．
从而 $C_{1}: \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1, C_{2}: y^{2}=12 x$ 。

（II）由题设知 $\mathrm{l}: \mathrm{y}=\mathrm{x}-\mathrm{c}$ ，设 $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{N}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right), \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{3}, \mathrm{y}_{3}\right), \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{4}, \mathrm{y}_{4}\right)$ 。
由 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 c x \\ y=x-c\end{array}\right.$ ，得 $x^{2}-6 c x+c^{2}=0$ ，所以 $x_{1}+x_{2}=6 c$ 。
而 $|M N|=|M F|+|F N|=x_{1}+x_{2}+2 c=8 c$ ，由条件 $|M N|=8$ ，得 $c=1$ ．
由（I）得 $a=2, b=\sqrt{3}$ ．从而，$C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，即 $3 x^{2}+4 y^{2}=12$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+4 y^{2}=12 \\ y=x-1\end{array}\right.$ ，得 $7 x^{2}-8 x-8=0$ ．所以 $x_{3}+x_{4}=\frac{8}{7}, x_{3} x_{4}=-\frac{8}{7}$ ．
故 $|\mathrm{PQ}|=\sqrt{2\left(\mathrm{x}_{3}-\mathrm{x}_{4}\right)^{2}}=\sqrt{2\left[\left(\frac{8}{7}\right)^{2}+4 \cdot \frac{8}{7}\right]}=\frac{24}{7}$ ．
【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．