（14 分）已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．
【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性

质与方程。
【分析】①由题意可得 $a=2, b=1$ ，则 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的方程可求，离心率为 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；
②设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，求出 $P A , P B$ 所在直线方程，得到 $M, N$ 的坐标，求得 $|A N|,|B M|$ ．由 $S_{A B N M}=\frac{1}{2} \cdot|A N| \cdot|B M|$ ，结合 $P$ 在椭圆上求得四边形 $A B N M$ 的面积为定值 2 。

【解答】（1）解：∵ 椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1$ 过点 $\mathrm{A}(2,0), \mathrm{B}(0,1)$ 两点，
$\therefore a=2, b=1$ ，则 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ ，
∴ 椭圆 C 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\mathrm{y}^{2}=1$ ，离心率为 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；
（2）证明：如图，
设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $k_{P A}=\frac{y_{0}}{x_{0}-2}, P A$ 所在直线方程为 $y=\frac{y_{0}}{x_{0}-2}(x-2)$ ，
取 $x=0$ ，得 $y_{M}=-\frac{2 y_{0}}{x_{0}-2}$ ；
$k_{P B}=\frac{y_{0}-1}{x_{0}}$ ，$P B$ 所在直线方程为 $y=\frac{y_{0}-1}{x_{0}} x+1$ ，
取 $y=0$ ，得 $x_{N}=\frac{x_{0}}{1-y_{0}}$ ．
$\therefore|A N|=2-\mathrm{x}_{\mathrm{N}}=2-\frac{\mathrm{x}_{0}}{1-\mathrm{y}_{0}}=\frac{2-2 \mathrm{y}_{0}-\mathrm{x}_{0}}{1-\mathrm{y}_{0}}$ ，
$|B M|=1-x_{M}=1+\frac{2 y_{0}}{x_{0}-2}=\frac{x_{0}+2 y_{0}-2}{x_{0}-2}$.
$\therefore S_{A B N M}=\frac{1}{2} \cdot|A N| \cdot|B M|=\frac{1}{2} \cdot \frac{2-2 y_{0}-x_{0}}{1-y_{0}} \cdot \frac{x_{0}+2 y_{0}-2}{x_{0}-2}$
$=-\frac{1}{2\left(x_{0}+2 y_{0}-2\right)^{2}}=\frac{1}{2\left(1-y_{0}\right)\left(x_{0}-2\right)} \frac{\left(x_{0}+2 y_{0}\right)^{2}-4\left(x_{0}+2 y_{0}\right)+4}{x_{0} y_{0}+2-x_{0}-2 y_{0}}=\frac{1}{2}$

$$ \frac{x_{0}^{2}+4 x_{0} y_{0}+4 y_{0}^{2}-4 x_{0}-8 y_{0}+4}{x_{0} y_{0}+2-x_{0}-2 y_{0}} $$

$=\frac{1}{2} \frac{4\left(x_{0} y_{0}+2-x_{0}-2 y_{0}\right)}{x_{0} y_{0}+2-x_{0}-2 y_{0}}=\frac{1}{2} \times 4=2$ ．
∴ 四边形 $A B N M$ 的面积为定值 2 ．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．