（12分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (0,…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角； KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】11：计算题；15：综合题；33：函数思想；36：整体思想．
【分析】（I）设M（x，y），由已知得B（x，－3），A（0，－1）并代入 $\overrightarrow{M B} \| \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}$ ，即可求得 $M$ 点的轨迹 $C$ 的方程；
（II）设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 为 C 上的点，求导，写出 C 在 P 点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得 O 点到 I 距离，然后利用基本不等式求出其最小值．

【解答】解：（I）设M（ $x, y$ ），由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$ ．
所 $\overrightarrow{\mathrm{MA}}=(-\mathrm{x},-1-\mathrm{y}), \overrightarrow{\mathrm{MB}}=(0,-3-\mathrm{y}), \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(\mathrm{x},-2)$ ．

再由题意可知 $(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ ，即 $(-\mathrm{x},-4-2 \mathrm{y}) \cdot(\mathrm{x},-2)=0$ ．
所以曲线 C 的方程式为 $\mathrm{y}=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{2}-2$ ．

（II）设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 为曲线C： $\mathrm{y}=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{2}-2$ 上一点，因为 $\mathrm{y}^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{x}$ ，所以的斜率为 $\frac{1}{2} \mathrm{x}_{0}$,
因此直线 $l$ 的方程为 $y-y_{0}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{0}\right)$ ，即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}{ }^{2}=0$ ．
则 o 点到 I 的距离 $\mathrm{d}=\frac{\left|2 \mathrm{y}_{0}-\mathrm{x}_{0}{ }^{2}\right|}{\sqrt{4+\mathrm{x}_{0}{ }^{2}}}$ ．又 $\mathrm{y}_{0}=\frac{1}{4} \mathrm{x}_{0}{ }^{2}-2$ ，
所以 $\mathrm{d}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{x}_{0}{ }^{2}+4}{\sqrt{4+\mathrm{x}_{0}{ }^{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\mathrm{x}_{0}{ }^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{4+\mathrm{x}_{0}{ }^{2}}}\right) \geq 2$ ，
所以 $x_{0}{ }^{2}=0$ 时取等号，所以 $O$ 点到 1 距离的最小值为 2 ．
【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．