20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、⋯、第 $i_{m}$ 项 $\left(i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{m}\right)$ ，若 $a \mathrm{i}_{1}<a \mathrm{i}_{2}<\cdots<a \mathrm{i}_{\mathrm{m}}$ ，则称新数列 $a \mathrm{i}_{1}, a \mathrm{i}_{2}, \cdots, a \mathrm{i}_{\mathrm{m}}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $m$ 的递增子列。规定：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意一项都是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 1 的递增子列．
（I）写出数列 $1,8,3,7,5,6,9$ 的一个长度为 4 的递增子列；
（II）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{~m}_{0}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{n}_{0}$ ．若 $p<q$ ，求证：$a \mathrm{~m}_{0}<a \mathrm{n}_{0}$ ；
（III）设无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ ，且长度为 $s$ 末项为 $2 s-1$ 的递增子列恰有 $2^{s-1}$ 个 $(s=1$ ， $2, \cdots)$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
（13 分）已知数列 a_ n，从中选取第 i_ 1 项、…——2019 高考数学第 20 题答案解析
2019_北京卷 (2019·理)
这道题真正考什么？
如果目标是先及格，这道题现在可以先放。
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
完整解析 · 逐步详解
【分析】（I） $1,3,5,6$ ．答案不唯一．
（II）考虑长度为 $q$ 的递增子列的前 $p$ 项可以组成长度为 $p$ 的一个递增子列，可得 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}_{0}}>$ 该数列的第 $p$ 项 $\geqslant \mathrm{a}_{\mathrm{m}_{0}}$ ，即可证明结论。
（III）考虑 $2 s-1$ 与 $2 s$ 这一组数在数列中的位置．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 中有 $2 s$ ，在 $2 s$ 在 $2 s-1$ 之后，则必然在长度为 $s+1$ ，且末项为 $2 s$ 的递增子列，这与长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ 矛盾，可得 $2 s$ 必在 $2 s-1$ 之前．继续考虑末项为 $2 s+1$ 的长度为 $s+1$ 的递增子
列．因此对于数列 $2 n-1,2 n$ ，由于 $2 n$ 在 $2 n-1$ 之前，可得研究递增子列时，不可同时取 $2 n$ 与 $2 n-1$ ，即可得出：递增子列最多有 $2^{s}$ 个．由题意，这 $s$ 组数列对全部存在于原数列中，并且全在 $2 s+1$ 之前．可得 $2,1,4,3,6,5, \cdots \cdots$ ，是唯一构造．
【解答】解：（I） $1,3,5,6$ ．
（II）证明：考虑长度为 $q$ 的递增子列的前 $p$ 项可以组成长度为 $p$ 的一个递增子列，
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}_{0}}>$ 该数列的第 $p$ 项 $\geqslant \mathrm{a}_{\mathrm{m}_{0}}$ ，
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{m}_{0}}<\mathrm{a}_{\mathrm{n}_{0}}$.
（III）解：考虑 $2 s-1$ 与 $2 s$ 这一组数在数列中的位置．
若 $\left\{a_{n}\right\}$ 中有 $2 s$ ，在 $2 s$ 在 $2 s-1$ 之后，则必然在长度为 $s+1$ ，且末项为 $2 s$ 的递增子列，这与长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ 矛盾，∴ $2 s$ 必在 $2 s-1$ 之前．
继续考虑末项为 $2 s+1$ 的长度为 $s+1$ 的递增子列．
∵ 对于数列 $2 n-1,2 n$ ，由于 $2 n$ 在 $2 n-1$ 之前，∴ 研究递增子列时，不可同时取 $2 n$ 与 $2 n-1$,
∵ 对于 1 至 $2 s$ 的所有整数，研究长度为 $s+1$ 的递增子列时，第 1 项是 1 与 2 二选 1 ，第 2 项是 3 与 4 二选 $1, \cdots \cdots$ ，第 $s$ 项是 $2 s-1$ 与 $2 s$ 二选 1 ，
故递增子列最多有 $2^{s}$ 个．由题意，这 $s$ 组数列对全部存在于原数列中，并且全在 $2 s+1$ 之前。
$\therefore 2,1,4,3,6,5, \cdots \cdots$ ，是唯一构造．
即 $a_{2 k}=2 k-1, a_{2 k-1}=2 k, k \in \mathbf{N}^{*}$ ．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．