（13 分）已知数列 a_ n，从中选取第 i_ 1 项、…——2019 高考数学第 20 题答案解析

【分析】（I） $1,3,5,6$ ．答案不唯一．
（II）考虑长度为 $q$ 的递增子列的前 $p$ 项可以组成长度为 $p$ 的一个递增子列，可得 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}_{0}}>$ 该数列的第 $p$ 项 $\geqslant \mathrm{a}_{\mathrm{m}_{0}}$ ，即可证明结论。
（III）考虑 $2 s-1$ 与 $2 s$ 这一组数在数列中的位置．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 中有 $2 s$ ，在 $2 s$ 在 $2 s-1$ 之后，则必然在长度为 $s+1$ ，且末项为 $2 s$ 的递增子列，这与长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ 矛盾，可得 $2 s$ 必在 $2 s-1$ 之前．继续考虑末项为 $2 s+1$ 的长度为 $s+1$ 的递增子

列．因此对于数列 $2 n-1,2 n$ ，由于 $2 n$ 在 $2 n-1$ 之前，可得研究递增子列时，不可同时取 $2 n$ 与 $2 n-1$ ，即可得出：递增子列最多有 $2^{s}$ 个．由题意，这 $s$ 组数列对全部存在于原数列中，并且全在 $2 s+1$ 之前．可得 $2,1,4,3,6,5, \cdots \cdots$ ，是唯一构造．

【解答】解：（I） $1,3,5,6$ ．
（II）证明：考虑长度为 $q$ 的递增子列的前 $p$ 项可以组成长度为 $p$ 的一个递增子列，
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}_{0}}>$ 该数列的第 $p$ 项 $\geqslant \mathrm{a}_{\mathrm{m}_{0}}$ ，
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{m}_{0}}<\mathrm{a}_{\mathrm{n}_{0}}$.
（III）解：考虑 $2 s-1$ 与 $2 s$ 这一组数在数列中的位置．
若 $\left\{a_{n}\right\}$ 中有 $2 s$ ，在 $2 s$ 在 $2 s-1$ 之后，则必然在长度为 $s+1$ ，且末项为 $2 s$ 的递增子列，这与长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ 矛盾，∴ $2 s$ 必在 $2 s-1$ 之前．

继续考虑末项为 $2 s+1$ 的长度为 $s+1$ 的递增子列．
∵ 对于数列 $2 n-1,2 n$ ，由于 $2 n$ 在 $2 n-1$ 之前，∴ 研究递增子列时，不可同时取 $2 n$ 与 $2 n-1$,
∵ 对于 1 至 $2 s$ 的所有整数，研究长度为 $s+1$ 的递增子列时，第 1 项是 1 与 2 二选 1 ，第 2 项是 3 与 4 二选 $1, \cdots \cdots$ ，第 $s$ 项是 $2 s-1$ 与 $2 s$ 二选 1 ，

故递增子列最多有 $2^{s}$ 个．由题意，这 $s$ 组数列对全部存在于原数列中，并且全在 $2 s+1$ 之前。
$\therefore 2,1,4,3,6,5, \cdots \cdots$ ，是唯一构造．
即 $a_{2 k}=2 k-1, a_{2 k-1}=2 k, k \in \mathbf{N}^{*}$ ．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．