（12分）设抛物线 C: y^ 2 =4 x 的焦点为 F…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【考点】 KN ：直线与抛物线的综合．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
**方法一**：设直线 $A B$ 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得 $k$ 的值，即可求得直线 $l$ 的方程；
**方法二**：根据抛物线的焦点弦公式 $|A B|=\frac{2 p}{\sin ^{2} \theta}$ ，求得直线 $A B$ 的倾斜角，即可求得直线 $l$ 的斜率，求得直线 $l$ 的方程；
（2）根据过A，B分别向准线I作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．

【解答】解：（1）方法一：抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点为 $\mathrm{F}(1,0)$ ，设直线 $A B$ 的方程为：$y=k(x-1)$ ，设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，

则 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-1) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ ，整理得：$k^{2} x^{2}-2\left(k^{2}+2\right) x+k^{2}=0$ ，则 $x_{1}+x_{2}=\frac{2\left(k^{2}+2\right)}{k^{2}}, x_{1} x_{2}=1$ ，
由 $|A B|=x_{1}+x_{2}+p=\frac{2\left(k^{2}+2\right)}{k^{2}}+2=8$ ，解得：$k^{2}=1$ ，则 $k=1$ ，
∴ 直线 $l$ 的方程 $\mathrm{y}=\mathrm{x}-1$ ；
**方法二**：抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F(1,0)$ ，设直线 $A B$ 的倾斜角为 $\theta$ ，由抛物线的弦长公式 $|A B|=\frac{2 p}{\sin ^{2} \theta}=\frac{4}{\sin ^{2} \theta}=8$ ，解得： $\sin ^{2} \theta=\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \theta=\frac{\pi}{4}$ ，则直线的斜率 $\mathrm{k}=1$ ，
∴ 直线 $l$ 的方程 $\mathrm{y}=\mathrm{x}-1$ ；
②由（1）可得 $A B$ 的中点坐标为 $D(3,2)$ ，则直线 $A B$ 的垂直平分线方程为 $y -2=-(x-3), ~$ 即 $y=-x+5$ ，

设所求圆的圆心坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}y_{0}=-x_{0}+5 \\ \left(x_{0}+1\right)^{2}=\frac{\left(y_{0}-x_{0}+1\right)^{2}}{2}+16\end{array}\right.$ ，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x_{0}=3 \\ y_{0}=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=11 \\ y_{0}=-6\end{array}\right.$ ，
因此，所求圆的方程为 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=16$ 或 $(x-11)^{2}+(y+6)^{2}=144$ ．

【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦

公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．