已知函数 f(x)= e ^ x ln (1+x) ． （…——2022 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$y=x$
②$g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．
（3）证明见解析

## 【解析】

【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令 $m(x)=f(x+t)-f(x),(x, t>0)$ ，即证 $m(x)>m(0)$ ，由第二问结论可知 $m(x)$在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，即得证．

【小问 1 详解】
解：因为 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+x)$ ，所以 $f(0)=0$ ，
即切点坐标为 $(0,0)$ ，
又 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left(\ln (1+x)+\frac{1}{1+x}\right)$ ，
∴ 切线斜率 $k=f^{\prime}(0)=1$
∴ 切线方程为：$y=x$
【小问 2 详解】
解：因为 $g(x)=f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left(\ln (1+x)+\frac{1}{1+x}\right)$ ，
所以 $g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left(\ln (1+x)+\frac{2}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\right)$ ，
令 $h(x)=\ln (1+x)+\frac{2}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}$ ，
则 $h^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{2}{(1+x)^{2}}+\frac{2}{(1+x)^{3}}=\frac{x^{2}+1}{(1+x)^{3}}>0$ ，
$\therefore h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，
$\therefore h(x) \geq h(0)=1>0$
$\therefore g^{\prime}(x)>0$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒成立，
$\therefore g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．

【小问 3 详解】
解：原不等式等价于 $f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0)$ ，
令 $m(x)=f(x+t)-f(x),(x, t>0)$ ，
即证 $m(x)>m(0)$ ，
$\because m(x)=f(x+t)-f(x)=\mathrm{e}^{x+t} \ln (1+x+t)-\mathrm{e}^{x} \ln (1+x)$,
$m^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x+t} \ln (1+x+t)+\frac{\mathrm{e}^{x+t}}{1+x+t}-\mathrm{e}^{x} \ln (1+x)-\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x}=g(x+t)-g(x)$,
由②知 $g(x)=f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left(\ln (1+x)+\frac{1}{1+x}\right)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，
$\therefore g(x+t)>g(x)$,
$\therefore m^{\prime}(x)>0$
$\therefore m(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，又因为 $x, t>0$ ，
$\therefore m(x)>m(0)$ ，所以命题得证．