12．（5分）已知椭圆T：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k ~(k>0) ~$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（）
参考答案
B
（5分）已知椭圆T： x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b…——2010 高考数学第 12 题答案解析
2010_旧全国 II 卷 (2010·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】 KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，根据 $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ 求得 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 关系根据离心率设 $\mathrm{a}=2 \mathrm{t}, \mathrm{c}=\sqrt{3} \mathrm{t}, \mathrm{b}=\mathrm{t}$ ，代入椭圆方程与直线方程联立，消去 x ，根据韦达定
理表示出 $y_{1}+y_{2}$ 和 $y_{1} y_{2}$ ，进而根据 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 关系求得 $k$ 。
【解答】解：$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
$\because \overrightarrow{\mathrm{AF}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}, \quad \therefore \mathrm{y}_{1}=-3 \mathrm{y}_{2}$,
$\because \mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，设 $\mathrm{a}=2 \mathrm{t}, \mathrm{c}=\sqrt{3} \mathrm{t}, \mathrm{b}=\mathrm{t}$ ，
$\therefore \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{y}^{2}-4 \mathrm{t}^{2}=0$①，
设直线 $A B$ 方程为 $x=s y+\sqrt{3} t$ ，代入①中消去 $x$ ，可得 $\left(s^{2}+4\right) y^{2}+2 \sqrt{3} s t y^{-} t^{2}=0$
$\therefore y_{1}+y_{2}=-\frac{2 \sqrt{3} s t}{s^{2}+4}, \quad y_{1} y_{2}=-\frac{t^{2}}{s^{2}+4}, \quad-2 y_{2}=-\frac{2 \sqrt{3} s t}{s^{2}+4}, \quad-3 y_{2}^{2}=-\frac{t^{2}}{s^{2}+4}$ ，
解得 $s^{2}=\frac{1}{2}, k=\sqrt{2}$
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
✅ 来源：2010年 · 全国 · 2010_旧全国 II 卷 (2010·文) · 第 12 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
再练一道 · 同类压轴题
2009 压轴题 · 2009_退役省自主命题 (2009·…
（21）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为 $\mathrm{x}=2$ ．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该椭圆相交于 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|=\frac{2 \sqrt{26}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程式．
2013 压轴题 · 2013_北京卷 (2013·文)
（14 分）直线 $y=k x+m(m \neq 0)$ 与椭圆W：$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 相交于 $A, C$ 两点，$O$ 是坐标原点．
（I）当点 B 的坐标为 $(0,1)$ ，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；
（II）当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $O A B C$ 不可能为菱形。
2010 压轴题 · 2010_旧全国 II 卷 (2010…
（5分）已知椭圆 $\mathrm{T}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 F 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（ ）