（3分）已知曲线 y=x+ln x 在点（1，1）处的切线…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】求出 $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\operatorname{In} \mathrm{x}$ 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程 ，根据 $\Delta=0$ 得到 a 的值．

【解答】解： $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\ln \mathrm{x}$ 的导数为 $\mathrm{y}^{\prime}=1+\frac{1}{\mathrm{x}}$ ，
曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\ln \mathrm{x}$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处的切线斜率为 $\mathrm{k}=2$ ，
则曲线 $y=x+\ln x$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y-1=2 x-2$ ，即 $y=2 x-1$ ．
由于切线与曲线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切，
故 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 可联立 $y=2 x-1$ ，
得 $a x^{2}+a x+2=0$ ，
又 $a \neq 0$ ，两线相切有一切点，
所以有 $\Delta=a^{2}-8 a=0$ ，
解得 $a=8$ ．
故答案为： 8 ．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．

## 三．