（13 分）已知函数 f(x)=e^ x cos x-x…——2017 高考数学第 19 题答案解析

【考点】6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。

【专题】34：方程思想；48：分析法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出 $f(x)$ 的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出 $f(x)$ 的导数，再令 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，求出 $g(x)$ 的导数，可得 $g(x)$在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 的单调性，即可得到 $f(x)$ 的单调性，进而得到 $f(x)$ 的最

值。
【解答】解：（1）函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=e^{x}(\cos x-\sin x)-1$ ，可得曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线斜率为 $k=e^{0}(\cos 0-\sin 0)-1=0$ ，切点为（ $0, e^{0} \cos 0-0$ ），即为（ 0,1 ），

曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程为 $y=1$ ；
（2）函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=e^{x}(\cos x-\sin x)-1$ ，令 $g(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x})-1$ ，

则 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的导数为 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x})=-2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \cdot \sin \mathrm{x}$ ，
当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，可得 $g^{\prime}(x)=-2 e^{x} \bullet \sin x \leqslant 0$ ，
即有 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 递减，可得 $g(x) \leqslant g(0)=0$ ，
则 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 递减，
即有函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为 $f(0)=e^{0} \cos 0-0=1$ ；
最小值为 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$ ．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．