已知椭圆 C: x^ 2 25 + y^ 2 m^ 2 =…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【答案】
①$\frac{x^{2}}{25}+\frac{16 y^{2}}{25}=1$ ；
②$\frac{5}{2}$ ．

## 【解析】

【分析】
（1）因为 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0（2）点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴垂线，交点为 $M$ ，设 $x=6$ 与 $x$ 轴交点为 $N$ ，可得 $\triangle P M B \cong \triangle B N Q$ ，可求得 $P$ 点坐标，求出直线 $A Q$ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 $\triangle A P Q$ 的面积．

【详解】①$\because C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0$\therefore a=5, b=m$ ，

根据离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}=\sqrt{1-\left(\frac{m}{5}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，
解得 $m=\frac{5}{4}$ 或 $m=-\frac{5}{4}$（舍），
$\therefore C$ 的方程为：$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}}=1$ ，
即 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{16 y^{2}}{25}=1$ ；
（2）∵ 点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，
过点 $P$ 作 $x$ 轴垂线，交点为 $M$ ，设 $x=6$ 与 $x$ 轴交点为 $N$
根据题意画出图形，如图

$\because|B P|=|B Q|, \quad B P \perp B Q, \quad \angle P M B=\angle Q N B=90^{\circ}$ ，
又 $\because \angle P B M+\angle Q B N=90^{\circ}, \quad \angle B Q N+\angle Q B N=90^{\circ}$ ，
$\therefore \angle P B M=\angle B Q N$ ，
根据三角形全等条件＂AAS＂，
可得：$\triangle P M B \cong \triangle B N Q$ ，
$\because \frac{x^{2}}{25}+\frac{16 y^{2}}{25}=1$,
$\therefore B(5,0)$,
$\therefore|P M|=|B N|=6-5=1$ ，
设 $P$ 点为 $\left(x_{P}, y_{P}\right)$ ，

可得 $P$ 点纵坐标为 $y_{P}=1$ ，将其代入 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{16 y^{2}}{25}=1$ ，

可得：$\frac{x_{P}{ }^{2}}{25}+\frac{16}{25}=1$ ，

解得：$x_{P}=3$ 或 $x_{P}=-3$ ，
$\therefore P$ 点为 $(3,1)$ 或 $(-3,1)$ ，
（1）当 $P$ 点为 $(3,1)$ 时，

故 $|M B|=5-3=2$ ，
$\because \triangle P M B \cong \triangle B N Q$,
$\therefore|M B|=|N Q|=2$ ，

可得：$Q$ 点为 $(6,2)$ ，
画出图象，如图

$\because A(-5,0), Q(6,2)$,

可求得直线 $A Q$ 的直线方程为： $2 x-11 y+10=0$ ，
根据点到直线距离公式可得 $P$ 到直线 $A Q$ 的距离为：$d=\frac{|2 \times 3-11 \times 1+10|}{\sqrt{2^{2}+11^{2}}}=\frac{|5|}{\sqrt{125}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，
根据两点间距离公式可得：$|A Q|=\sqrt{(6+5)^{2}+(2-0)^{2}}=5 \sqrt{5}$ ，
$\therefore \triangle A P Q$ 面积为：$\frac{1}{2} \times 5 \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{5}{2}$ ；

（2）当 $P$ 点为 $(-3,1)$ 时，
故 $|M B|=5+3=8$ ，
$\because \triangle P M B \cong \triangle B N Q$,
$\therefore|M B|=|N Q|=8$ ，

可得：$Q$ 点为 $(6,8)$ ，
画出图象，如图

$\because A(-5,0) Q(6,8)$ ，

可求得直线 $A Q$ 的直线方程为： $8 x-11 y+40=0$ ，

根据点到直线距离公式可得 $P$ 到直线 $A Q$ 的距离为：
$d=\frac{|8 \times(-3)-11 \times 1+40|}{\sqrt{8^{2}+11^{2}}}=\frac{|5|}{\sqrt{185}}=\frac{5}{\sqrt{185}}$,
根据两点间距离公式可得：$|A Q|=\sqrt{(6+5)^{2}+(8-0)^{2}}=\sqrt{185}$ ，
$\therefore \triangle A P Q$ 面积为：$\frac{1}{2} \times \sqrt{185} \times \frac{5}{\sqrt{185}}=\frac{5}{2}$ ，

综上所述，$\triangle A P Q$ 面积为：$\frac{5}{2}$ ．
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题。