21．（本小题满分 13 分）
设 $a>0, b>0$，已知函数 $f(x)=\frac{a x+b}{x+1}$．
（I）当 $a \neq b$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）当 $x>0$ 时，称 $f(x)$ 为 $a, b$ 关于 $x$ 的加权平均数．
（i）判断 $f①, f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right), f\left(\frac{b}{a}\right)$ 是否成等比数列，并证明 $f\left(\frac{b}{a}\right) \leq f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$；
（ii）$a, b$ 的几何平均数记为 $G$．称 $\frac{2 a b}{a+b}$ 为 $a, b$ 的调和平均数，记为 $H$．
若 $H \leq f(x) \leq G$，求 $x$ 的取值范围．
参考答案（I）对 $a, b$ 大小讨论来证明（II）$a=b, x \in(0,+\infty), a<b, x \in\left[\sqrt{\frac{b}{a}}, \frac{b}{a}\right]$， $a>b, x \in\left[\frac{b}{a}, \sqrt{\frac{b}{a}}\right]$