2023_全国乙卷 (2023·文)
20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线方程．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．
(1) $(\ln 2) x+y-\ln 2=0$; (2) $\left\{a \left\lvert\, a \geq \frac{1}{2}\right.\right\}$ ．
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】 $(1)(\ln 2) x+y-\ln 2=0$ ；
②$\left\{a \left\lvert\, a \geq \frac{1}{2}\right.\right\}$ ．
【解析】
【分析】①由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上恒成立，整理变形可得 $g(x)=a x^{2}+x-(x+1) \ln (x+1) \geq 0$在区间 $(0,+\infty)$ 上恒成立，然后分类讨论 $a \leq 0, a \geq \frac{1}{2}, 0<a<\frac{1}{2}$ 三种情况即可求得实数 $a$ 的取值范围．
【小问 1 详解】
当 $a=-1$ 时，$f(x)=\left(\frac{1}{x}-1\right) \ln (x+1)(x>-1)$ ，
则 $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}} \times \ln (x+1)+\left(\frac{1}{x}-1\right) \times \frac{1}{x+1}$ ，
据此可得 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=-\ln 2$ ，
所以函数在 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y-0=-\ln 2(x-1)$ ，即 $(\ln 2) x+y-\ln 2=0$ ．
【小问 2 详解】
由函数的解析式可得 $f^{\prime}(x)=\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \ln (x+1)+\left(\frac{1}{x}+a\right) \times \frac{1}{x+1}(x>-1)$ ，
满足题意时 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上恒成立．
令 $\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \ln (x+1)+\left(\frac{1}{x}+a\right) \frac{1}{x+1} \geq 0$ ，则 $-(x+1) \ln (x+1)+\left(x+a x^{2}\right) \geq 0$ ，
令 $g(x)=a x^{2}+x-(x+1) \ln (x+1)$ ，原问题等价于 $g(x) \geq 0$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上恒成立，
则 $g^{\prime}(x)=2 a x-\ln (x+1)$ ，
当 $a \leq 0$ 时，由于 $2 a x \leq 0, \ln (x+1)>0$ ，故 $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减，
此时 $g(x)<g(0)=0$ ，不合题意；
令 $h(x)=g^{\prime}(x)=2 a x-\ln (x+1)$ ，则 $h^{\prime}(x)=2 a-\frac{1}{x+1}$ ，
当 $a \geq \frac{1}{2}, 2 a \geq 1$ 时，由于 $\frac{1}{x+1}<1$ ，所以 $h^{\prime}(x)>0, h(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增，
即 $g^{\prime}(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增，
所以 $g^{\prime}(x)>g^{\prime}(0)=0, g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增，$g(x)>g(0)=0$ ，满足题意．
当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，由 $h^{\prime}(x)=2 a-\frac{1}{x+1}=0$ 可得 $x=\frac{1}{2 a}-1$ ，
当 $x \in\left(0, \frac{1}{2 a}-1\right)$ 时，$h^{\prime}(x)<0, h(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2 a}-1\right)$ 上单调递减，即 $g^{\prime}(x)$ 单调递减，
注意到 $g^{\prime}(0)=0$ ，故当 $x \in\left(0, \frac{1}{2 a}-1\right)$ 时，$g^{\prime}(x)<g^{\prime}(0)=0, g(x)$ 单调递减，
由于 $g(0)=0$ ，故当 $x \in\left(0, \frac{1}{2 a}-1\right)$ 时，$g(x)<g(0)=0$ ，不合题意。
综上可知：实数 $a$ 得取值范围是 $\left\{a \left\lvert\, a \geq \frac{1}{2}\right.\right\}$ ．
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）函数在区间 $(a, b)$ 上单调，实际上就是在该区间上 $f^{\prime}(x) \geq 0$（或 $f^{\prime}(x) \leq 0$ ）恒成立．
（2）函数在区间 $(a, b)$ 上存在单调区间，实际上就是 $f^{\prime}(x) \geq 0$（或 $f^{\prime}(x) \leq 0$ ）在该区间上存在解集．