2011_天津卷 (2011·理)
18．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P(a, b)(a>b>0)$ 为动点，$F_{1}, F_{2}$
分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点．已知 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 为等腰三角形．
（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $P F_{2}$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，$M$ 是直线 $P F_{2}$ 上的点，满足 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B M}=-2$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．
【解答】
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力。满分 13 分。
（I）解：设 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)(c>0)$
由题意，可得 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，
即 $\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}=2 c$ ．
整理得 $2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}+\frac{c}{a}-1=0$ ，得 $\frac{c}{a}=-1$（舍），
或 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ．所以 $e=\frac{1}{2}$ ．
（II）解：由（I）知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$ ，
可得椭圆方程为 $3 x^{2}+4 y^{2}=12 c^{2}$ ，
直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 方程为 $y=\sqrt{3}(x-c)$ ．
$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点的坐标满足方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+4 y^{2}=12 c^{2}, \\ y=\sqrt{3}(x-c) .\end{array}\right.$
消去 y 并整理，得 $5 x^{2}-8 c x=0$ ．
解得 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{8}{5} c$ ．
得方程组的解 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=0, \\ y_{1}=-\sqrt{3} c,\end{array}\left\{\begin{array}{l}x_{2}=\frac{8}{5} c, \\ y_{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{5} c .\end{array}\right.\right.$
不妨设 $A\left(\frac{8}{5} c, \frac{3 \sqrt{3}}{5} c\right), B(0,-\sqrt{3} c)$
设点 M 的坐标为 $(x, y)$ ，则 $\overrightarrow{A M}=\left(x-\frac{8}{5} c, y-\frac{3 \sqrt{3}}{5} c\right), \overrightarrow{B M}=(x, y+\sqrt{3} c)$ ，
由 $y=\sqrt{3}(x-c)$ ，得 $c=x-\frac{\sqrt{3}}{3} y$ ．
于是 $\overrightarrow{A M}=\left(\frac{8 \sqrt{3}}{15} y-\frac{3}{5} x, \frac{8}{5} y-\frac{3 \sqrt{3}}{5} x\right)$ ，
$\overrightarrow{B M}=(x, \sqrt{3} x)$ ．由 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B M}=-2$ ，
即 $\left(\frac{8 \sqrt{3}}{15} y-\frac{3}{5} x\right) \cdot x+\left(\frac{8}{5} y-\frac{3 \sqrt{3}}{5} x\right) \cdot \sqrt{3} x=-2$ ，
化简得 $18 x^{2}-16 \sqrt{3} x y-15=0$ ．
将 $y=\frac{18 x^{2}-15}{16 \sqrt{3} x}$ 代入 $c=x-\frac{\sqrt{3}}{3} y$ ，得 $c=\frac{10 x^{2}+5}{16 x}>0$ ．
所以 $x>0$ ．
因此，点 M 的轨迹方程是 $18 x^{2}-16 \sqrt{3} x y-15=0(x>0)$ ．