（12分）已知函数 f ( x )=( x +1) ln…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【考点】66：简单复合函数的导数．

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（1）当 $\mathrm{a}=4$ 时，求出曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(1, \mathrm{f}①)$ 处的切线的斜率，即可求出切线方程；
（II）先求出 $f^{\prime}(x)>f^{\prime}(1)=2-a$ ，再结合条件，分类讨论，即可求 $a$ 的取值范围。

【解答】解：（I）当 $a=4$ 时，$f(x)=(x+1) \ln x-4(x-1)$ ．
$f(1)=0$ ，即点为 $(1,0)$ ，
函数的导数 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}+(\mathrm{x}+1) \bullet \frac{1}{\mathrm{x}}-4$ ，
则 $f^{\prime}(1)=\ln 1+2-4=2-4=-2$ ，
即函数的切线斜率 $\mathrm{k}=\mathrm{f}^{\prime}(1)=-2$ ，
则曲线 $y=f(x)$ 在 $(1,0)$ 处的切线方程为 $y=-2(x-1)=-2 x+2$ ；
（II）$\because f(x)=(x+1) \ln x-a(x-1)$,
$\therefore f^{\prime}(x)=1+\frac{1}{x}+\ln x-a$ ，
$\therefore f^{\prime \prime}(x)=\frac{x-1}{x^{2}}$ ，
$\because x>1, \quad \therefore f^{\prime \prime}(x)>0$,
$\therefore f^{\prime}(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，
$\therefore f^{\prime}(x)>f^{\prime}(1)=2-a$ ．
①$a \leq 2, f^{\prime}(x)>f^{\prime}(1) \geq 0$ ，
$\therefore f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，
$\therefore f(x)>f(1)=0$ ，满足题意；
②$a>2$ ，存在 $x_{0} \in(1,+\infty), f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，函数 $f(x)$ 在 $\left(1, x_{0}\right)$ 上单调递减 ，在 $\left(\mathrm{x}_{0},+\infty\right)$ 上单调递增，

由 $f(1)=0$ ，可得存在 $x_{0} \in(1,+\infty), f\left(x_{0}\right)<0$ ，不合题意。
综上所述， $\mathrm{a} \leq 2$ 。
另解：若当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$f(x)>0$ ，
可得 $(x+1) \ln x-a(x-1)>0$ ，
即为 $\mathrm{a}<\frac{(\mathrm{x}+1) \ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}$,

由 $\mathrm{y}=\frac{(\mathrm{x}+1) \ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}$ 的导数为 $\mathrm{y}^{\prime}=\frac{\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}-2 \ln \mathrm{x}}{(\mathrm{x}-1)^{2}}$ ，
由 $y=x-\frac{1}{x}-2 \ln x$ 的导数为 $y^{\prime}=1+\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}>0$ ，
函数 $y$ 在 $x>1$ 递增，可得 $\frac{x-\frac{1}{x}-2 \ln x}{(x-1)^{2}}>0$ ，
则函数 $\mathrm{y}=\frac{(\mathrm{x}+1) \ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}$ 在 $\mathrm{x}>1$ 递增，
则 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x+1) \ln x}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \ln x+1+\frac{1}{x}=2$ ，
可得 $\frac{(x+1) \ln x}{x-1}>2$ 恒成立，
即有 $a \leq 2$ 。
【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力 ，有难度。