（12分）已知函数 f(x)=e^ x (e^ x -a…——2017 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
（2）根据①的结论，分别求出函数的最小值，即可求出 a 的范围．
【解答】解：（1）$f(x)=e^{x}\left(e^{x}-a\right)-a^{2} x=e^{2 x}-e^{x} a-a^{2} x$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=2 e^{2 x}-a e^{x}-a^{2}=\left(2 e^{x}+a\right)\left(e^{x}-a\right)$,
①当 $a=0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ 恒成立，
$\therefore f(x)$ 在 $R$ 上单调递增，
②当 $a>0$ 时， $2 e^{x}+a>0$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=\ln a$ ，
当 $x<\ln a$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，函数 $f(x)$ 单调递减，
当 $x>\ln a$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，函数 $f(x)$ 单调递增，
（3）当 $a<0$ 时，$e^{x}-a>0$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=\ln \left(-\frac{a}{2}\right)$ ，
当 $x<\ln \left(-\frac{a}{2}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，函数 $f(x)$ 单调递减，
当 $x>\ln \left(-\frac{a}{2}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，函数 $f(x)$ 单调递增，
综上所述，当 $a=0$ 时，$f(x)$ 在 $R$ 上单调递增，
当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty$ ， $\ln a)$ 上单调递减，在（Ina，$+\infty$ ）上单调递增，
当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty, \ln \left(-\frac{a}{2}\right)\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln \left(-\frac{a}{2}\right),+\infty\right)$
上单调递增，
②①当 $a=0$ 时，$f(x)=e^{2 x}>0$ 恒成立，
（2）当 $a>0$ 时，由①可得 $f(x)_{\min }=f(\ln a)=-a^{2} \ln a \geq 0$ ，
$\therefore \ln a \leq 0, \quad \therefore 0（3）当 $a<0$ 时，由①可得：
$f(x)_{\min }=f\left(\ln \left(-\frac{a}{2}\right)\right)=\frac{3 a^{2}}{4}-a^{2} \ln \left(-\frac{a}{2}\right) \geq 0$ ，
$\therefore \ln \left(-\frac{a}{2}\right) \leq \frac{3}{4}$ ，
$\therefore-2 e^{\frac{3}{4}} \leq a<0$,
综上所述 $a$ 的取值范围为 $\left[-2 e^{\frac{3}{4}}, 1\right]$
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题．