如果函数 f(x)= 1 2 (m-2) x^ 2 +(n…——2015 高考数学第 9 题答案解析

【答案】B

## 【解析】

$m \neq 2$ 时，抛物线的对称轴为 $x=-\frac{n-8}{m-2}$ ．据题意，当 $m>2$ 时，$-\frac{n-8}{m-2} \geq 2$ 即
$2 m+n \leq 12 . \because \sqrt{2 m \cdot n} \leq \frac{2 m+n}{2} \leq 6, \therefore m n \leq 18$ 。由 $2 m=n$ 且 $2 m+n=12$ 得 $m=3, n=6$ 。当 $m<2$ 时，抛物线开口向下，据题意得，$-\frac{n-8}{m-2} \leq \frac{1}{2}$ 即 $m+2 n \leq 18 . \because \sqrt{2 n \cdot m} \leq \frac{2 n+m}{2} \leq 9, \therefore m n \leq \frac{81}{2}$ ．由 $2 n=m$ 且 $m+2 n=18$ 得 $m=9>2$ ，故应舍去。要使得 $m n$ 取得㖩大值，应有 $m+2 n=18(m<2, n>8)$ ．所以 $m n=(18-2 n) n<(18-2 \times 8) \times 8=16$ ，所以最大值为 18 ．选 B．．

【考点定位】函数与不等式的综合应用．
【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到 $m , n$ 满足的条件，然后利用基本不等式求解。本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力。在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现。