（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)= array…——2013 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（I）减区间为 $(-\infty,-1)$，增区间为 $[-1,0),(0,+\infty)$；（II）略；（III）$(-\ln 2-1,+\infty)$．
【解析】（I）函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty,-1)$，单调诃增区间为 $[-1,0),(0,+\infty) . \cdots \cdots 3$分
（II）由导数的几何意义可知，点 $A$ 处的切线悇率为 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)$，点 $B$ 处的切线斜率为 $f^{\prime}\left(x_{2}\right)$，故当点 $A$ 处的切线与点 $B$ 处的切线垂血时，有 $f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)=-1$．

当 $x<0$ 时，对函数 $f(x)$ 求导，得 $f^{\prime}(x)=2 x+2$，

因为 $x_{1}所以 $2 x_{1}+2<0,2 x_{2}+2>0$．
因此 $x_{2}-x_{1}=\frac{1}{2}\left[-\left(2 x_{1}+2\right)+\left(2 x_{2}+2\right)\right] \geq \sqrt{\left[-\left(2 x_{1}+2\right)\right] \cdot\left(2 x_{2}+2\right)}=1$，
当且仅当 $-\left(2 x_{1}+2\right)=2 x_{2}+2=1$，即 $x_{1}=-\frac{3}{2}, x_{2}=-\frac{1}{2}$ 时等号成立。
所以，函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直时，$x_{2}-x_{1} \geq 1$．$\cdots \cdots 7$ 分
（III）当 $x_{1}x_{1}>0$ 时，$f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right)$，故 $x_{1}<0当 $x_{1}<0$ 时，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\lambda\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线方程为

$$ y-\left(x_{1}^{2}+2 x_{1}+a\right)=\left(2 x_{1}+2\right)\left(x-x_{1}\right) \text {, 即 } y=\left(2 x_{1}+2\right) x-x_{1}^{2}+a \text {. } $$

当 $x_{2}>0$ 时，函数 $f(x)$ 的圊缘在点 $B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 处的切线方程为

$$ y-\ln x_{2}=\frac{1}{x_{2}}\left(x-x_{2}\right) \text {, 即 } y=\frac{1}{x_{2}} \cdot x+\ln x_{2}-1 \text {. } $$

两切线重合的充要条件是

$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x_{2}}=2 x_{1}+2 \\ \ln x_{2}-1=-x_{1}^{2}+a \end{array}\right. $$

由（1）及 $x_{1}<0由（1）（2）得 $a=x_{1}^{2}+\ln \frac{1}{2 x_{1}+2}-1=x_{1}^{2}-\ln \left(2 x_{1}+2\right)-1$．
设 $h\left(x_{1}\right)=x_{1}^{2}-\ln \left(2 x_{1}+2\right)-1 \quad\left(-1则 $h^{\prime}\left(x_{1}\right)=2 x_{1}-\frac{1}{x_{1}+1}<0$，
所以，$h\left(x_{1}\right)\left(-1则 $h\left(x_{1}\right)>h(0)=-\ln 2-1$，

所以 $a>-\ln 2-1$．
又当 $x_{1} \in(-1,0)$ 且趋近于 -1 时，$n\left(x_{1}\right)$ 无限增大，
所以 $a$ 的取值范围是 $(-\ln 2-1,+\infty)$．

故当函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合时，$a$ 的取值范围是 $(-\ln 2-1,+\infty)$．

【考点定位】本小题主要考查基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线的位置关系等基

础知识，考查推论证能力、运算求解能力、创新意识、考查函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想。第（I）问两个增区间之间错加并集付号；第（II）问没有注明均值不等式中等号成立的条件；第（III）问不会分离变量，把所求问题转化为函数值域问题。