15、过椭圆 $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与随圆交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点， O 为坐标原点，则 $\triangle O A B$ 的面积为 $\_\_\_\_$
参考答案
$\frac{5}{3}$ ． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要注意对于圆锥曲线目前主要以定义及方程为主，对于直线与圆锥曲线的位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可
过椭圆 x^ 2 5 + y^ 2 4 =1 的右焦点作一…——2008 高考数学第 15 题答案解析
2008_老新课标卷 (2008·文)
完整解析 · 逐步详解
【解答】
（5分）（2008•海南）过椭圆 $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 $A , B$ 两点，$O$ 为坐标原点，则 $\triangle O A B$ 的面积为 $\_\_\_\_$ $\frac{5}{3}$ ． ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】将椭圆与直线方程联立：$\left\{\begin{array}{l}4 x^{2}+5 y^{2}-20=0 \\ y=2(x-1)\end{array}\right.$ ，得交点 $\mathrm{A}(0,-2), \mathrm{B}\left(\frac{5}{3}, \frac{4}{3}\right)$
，进而结合三角形面积公式计算可得答案。
【解答】解：由题意知 $\left\{\begin{array}{l}4 x^{2}+5 y^{2}-20=0 \\ y=2(x-1)\end{array}\right.$ ，
解方程组得交点 $\mathrm{A}(0,-2), \mathrm{B}\left(\frac{5}{3}, \frac{4}{3}\right)$ ，
$\therefore S_{O A B}=\frac{1}{2} \cdot O F \cdot\left|y_{1}-y_{2}\right|=\frac{1}{2} \times 1 \times\left|\frac{4}{3}+2\right|=\frac{5}{3}$ ．
答案：$\frac{5}{3}$ ．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要注意对于圆锥曲线目前主要以定义及方程为主，对于直线与圆锥曲线的位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可。
✅ 来源：2008年 · 全国 · 2008_老新课标卷 (2008·文) · 第 15 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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