（18）（满分 12 分）在 10 件产品中，有 3 件一…——2009 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。
（I）解：由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 $C_{3}^{k}$ ，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k件一等品的结果数为 $C_{3}^{k} C_{7}^{3-k}$ ，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率为 $\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{k})=\frac{C_{3}^{k} C_{7}^{3-k}}{C_{10}^{3}}, \mathrm{k}=0,1,2,3$ 。

所以随机变量 X 的分布列是

X 的数学期望 $\mathrm{EX}=0 \times \frac{7}{24}+1 \times \frac{21}{40}+2 \times \frac{7}{40}+3 \times \frac{1}{120}=\frac{9}{10}$
（II）解：设＂取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数＂为事件 A，＂恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品＂为事件 $\mathrm{A}_{1}$＂恰好取出 2 件一等品＂为事件 $\mathrm{A}_{2}$ ，＂恰好取出 3件一等品＂为事件 $A_{3}$ 由于事件 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 彼此互斥，且 $A=A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$ 而

$P\left(A_{1}\right) \frac{C_{3}^{1} C_{3}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{40}, \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=\frac{7}{40}, \mathrm{P}(\mathrm{A} 3)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)=\frac{1}{120}$ ，
所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
$\mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{3}\right)=\frac{3}{40}+\frac{7}{40}+\frac{1}{120}=\frac{31}{120}$