（本小题满分 14 分） 设 b>0，数列 a_ n 满足…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【解析】（1）解：$\because a_{n}=\frac{n b a_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}$

$$ \therefore \frac{a_{n}}{n}=\frac{b a_{n-1}}{a_{n-1}+n-1} $$

$\therefore \frac{n}{a_{n}}=\frac{1}{b} \cdot \frac{n-1}{a_{n-1}}+\frac{1}{b}$
①当 $b=1$ 时，$\frac{n}{a_{n}}-\frac{n-1}{a_{n-1}}=1$ ，则 $\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\}$ 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列
$\therefore \frac{n}{a_{n}}=1+(n-1) \times 1=n$ ，即 $a_{n}=1$
②当 $b>0$ 且 $b \neq 1$ 时，$\frac{n}{a_{n}}+\frac{1}{1-b}=\frac{1}{b}\left(\frac{n-1}{a_{n-1}}+\frac{1}{1-b}\right)$
当 $n=1$ 时,$\frac{n}{a_{n}}+\frac{1}{1-b}=\frac{1}{b(1-b)}$
$\therefore\left\{\frac{n}{a_{n}}+\frac{1}{1-b}\right\}$ 是以 $\frac{1}{b(1-b)}$ 为首项，$\frac{1}{b}$ 为公比的等比数列
$\therefore \frac{n}{a_{n}}+\frac{1}{1-b}=\frac{1}{1-b} \cdot\left(\frac{1}{b}\right)^{n}$
$\therefore \frac{n}{a_{n}}=\frac{1}{(1-b) b^{n}}-\frac{1}{1-b}=\frac{1-b^{n}}{(1-b) b^{n}}$
$\therefore a_{n}=\frac{n(1-b) b^{n}}{1-b^{n}}$
综上所述 $a_{n}= \begin{cases}\frac{n(1-b) b^{n}}{1-b^{n}}, & b>0 \text { 且 } b \neq 1 \\ 1, & b=1\end{cases}$
（2）证明：①当 $b=1$ 时， $2 a_{n}=b^{n+1}+1=2$ ；
（2）当 $b>0$ 且 $b \neq 1$ 时， $1-b^{n}=(1-b)\left(1+b+\cdots+b^{n-2}+b^{n-1}\right)$
要证 $2 a_{n} \leq b^{n+1}+1$ ，只需证 $\frac{2 n(1-b) b^{n}}{1-b^{n}} \leq b^{n+1}+1$ ，
即证 $\frac{2 n(1-b)}{1-b^{n}} \leq b+\frac{1}{b^{n}}$
即证 $\frac{2 n}{1+b+\cdots+b^{n-2}+b^{n-1}} \leq b+\frac{1}{b^{n}}$
即证 $\left(b+\frac{1}{b^{n}}\right)\left(1+b+\cdots+b^{n-2}+b^{n-1}\right) \geq 2 n$

即证 $\left(b+b^{2}+\cdots+b^{n-1}+b^{n}\right)+\left(\frac{1}{b^{n}}+\frac{1}{b^{n-1}}+\cdots+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{b}\right) \geq 2 n$
$\because\left(b+b^{2}+\cdots+b^{n-1}+b^{n}\right)+\left(\frac{1}{b^{n}}+\frac{1}{b^{n-1}}+\cdots+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{b}\right)$
$=\left(b+\frac{1}{b}\right)+\left(b^{2}+\frac{1}{b^{2}}\right)+\cdots+\left(b^{n-1}+\frac{1}{b^{n-1}}\right)+\left(b^{n}+\frac{1}{b^{n}}\right)$
$\geq 2 \sqrt{b \cdot \frac{1}{b}}+2 \sqrt{b^{2} \cdot \frac{1}{b^{2}}}+\cdots+2 \sqrt{b^{n-1} \cdot \frac{1}{b^{n-1}}}+2 \sqrt{b^{n} \cdot \frac{1}{b^{n}}}=2 n, \quad \therefore$ 原不等式成立
∴ 对于一切正整数 $n, 2 a_{n} \leqslant b^{n+1}+1$ ．