2008 高考数学第 17 题答案解析

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\left(1+\cos ^{2} \frac{n \pi}{2}\right) a_{n}+\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}, n=1,2,3, \cdots$ ．
（I）求 $a_{3}, a_{4}$ ，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{a_{2 n-1}}{a_{2 n}}, S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$ ．证明：当 $n \geq 6$ 时，$\left|S_{n}-2\right|<\frac{1}{n}$ ．