2018_浙江卷 (2018)
9．（4分）已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 是平面向量，$\vec{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，向量 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{b}}^{2}-4 \overrightarrow{\mathrm{e}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+3=0$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|$ 的最小值是（）
【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法； 5 A ：平面向量及应用．
【分析】把等式 $\vec{b}^{2}-4 \vec{e} \cdot \vec{b}+3=0$ 变形，可得得 $(\vec{b}-\vec{e}) \cdot(\vec{b}-3 \vec{e})=0$ ，即 $(\vec{b}-\vec{e}) \perp(\vec{b}-3 \vec{e})$ ，设 $\vec{e}=(1,0)$ ，则 $\vec{b}$ 的终点在以 $(2,0)$ 为圆心，以 1 为半径的圆周上，再由已知得到 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 的终点在不含端点 O 的两条射线 $\mathrm{y}= \pm \sqrt{3} \mathrm{x}(\mathrm{x}>0)$上，画出图形，数形结合得答案。
【解答】解：由 $\vec{b}^{2}-4 \vec{e} \cdot \vec{b}+3=0$ ，得 $(\vec{b}-\vec{e}) \cdot(\vec{b}-3 \vec{e})=0$ ，
$\therefore(\vec{b}-\vec{e}) \perp(\vec{b}-3 \vec{e})$,
如图，不妨设 $\overrightarrow{\mathrm{e}}=(1,0)$ ，
则 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的终点在以（ 2,0 ）为圆心，以 1 为半径的圆周上，
又非零向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 的终点在不含端点 O 的两条射线 $\mathrm{y}= \pm \sqrt{3} \mathrm{x} (x>0)$ 上。
不妨以 $y=\sqrt{3} x$ 为例，则 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值是（2，0）到直线 $\sqrt{3} x-y=0$ 的距离减1．即 $\frac{|2 \sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}-1=\sqrt{3}-1$ 。
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．