（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差。

【专题】15：综合题．
【分析】（I）记 $A_{i}$ 表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得 $i$ 分，$i=0,1$ ，2；A表示事件：第 3 次发球，甲得 1 分；B 表示事件：开始第 4 次发球，甲、乙的比分为 1 比 2 ，则 $B=A_{0} A+A_{1} \cdot \bar{A}$ ，根据 $P(A)=0.4, P\left(A_{0}\right)=0.16, P(A$ 1）$=2 \times 0.6 \times 0.4=0.48$ ，即可求得结论；
（II）$P\left(A_{2}\right)=0.6^{2}=0.36$ ，$\xi$ 表示开始第 4 次发球时乙的得分，可取 $0,1,2,3$ ，计算相应的概率，即可求得 $\xi$ 的期望．

【解答】解：（I）记 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得 i 分， $\mathrm{i}=0$ ，1，2；$A$ 表示事件：第 3 次发球，甲得 1 分；
$B$ 表示事件：开始第 4 次发球，甲、乙的比分为 1 比 2 ，则 $B=A_{0} A+A_{1} \cdot \bar{A}$
$\because P(A)=0.4, P\left(A_{0}\right)=0.16, P\left(A_{1}\right)=2 \times 0.6 \times 0.4=0.48$
$\therefore P(B)=0.16 \times 0.4+0.48 \times(1-0.4)=0.352$ ；
（II）$P\left(A_{2}\right)=0.6^{2}=0.36, \xi$ 表示开始第 4 次发球时乙的得分，可取 $0,1,2,3$
$P(\xi=0)=P\left(A_{2} A\right)=0.36 \times 0.4=0.144$
$P(\xi=2)=P(B)=0.352$
$P(\xi=3)=P\left(A_{0} \cdot \bar{A}\right)=0.16 \times 0.6=0.096$
$P(\xi=1)=1-0.144-0.352-0.096=0.408$
$\therefore \xi$ 的期望 $\mathrm{E} \xi=1 \times 0.408+2 \times 0.352+3 \times 0.096=1.400$ ．
【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．