（12 分）（2008 ⋅ 四川）在数列 a _ n 中，…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【考点】数列递推式；数列的求和。
【专题】计算题．
【分析】（I）由题设条件得 $\frac{a_{n+1}}{(n+1)^{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{a_{n}}{n^{2}}$ ，由此可知 $a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n-1}}$ ．
（II）由题设条件知 $S_{n}=\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}++\frac{2 n+1}{2^{n}}, \frac{1}{2} S_{n}=\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}++\frac{2 n-1}{2^{n}}+\frac{2 n+1}{2^{n+1}}$ ，再由错位相减得 $\frac{1}{2} S_{n}=\frac{3}{2}+2\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}++\frac{1}{2^{n}}\right)-\frac{2 n+1}{2^{n+1}}$ ，由此可知 $S_{n}=5-\frac{2 n+5}{2^{n}}$ ．
（III）由 $S_{n}=\left(a_{2}+a_{3}++a_{n+1}\right)-\frac{1}{2}\left(a_{1}+a_{2}++a_{n}\right)$ 得
$T_{n}-a_{1}+a_{n+1}-\frac{1}{2} T_{n}=S_{n}$ ．由此可知 $T_{n}=2 S_{n}+2 a_{1}-2 a_{n+1}=12-\frac{n^{2}+4 n+6}{2^{n-1}}$ ．
【解答】解：（I）由条件得 $\frac{a_{n+1}}{(n+1)^{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{a_{n}}{n^{2}}$ ，又 $n=1$ 时，$\frac{a_{n}}{n^{2}}=1$ ，
故数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n^{2}}\right\}$ 构成首项为 1 ，公式为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列．从而 $\frac{a_{n}}{n^{2}}=\frac{1}{2^{n-1}}$ ，即 $a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n-1}}$ ．
（II）由 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{(\mathrm{n}+1)^{2}}{2^{\mathrm{n}}}-\frac{\mathrm{n}^{2}}{2^{\mathrm{n}}}=\frac{2 \mathrm{n}+1}{2^{\mathrm{n}}}$ 得 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 \mathrm{n}+1}{2^{\mathrm{n}}}$ ，
$\frac{1}{2} S_{n}=\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n}}+\frac{2 n+1}{2^{n+1}}$,

两式相减得：$\frac{1}{2} S_{n}=\frac{3}{2}+2\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)-\frac{2 n+1}{2^{n+1}}$ ，所以 $S_{n}=5-\frac{2 n+5}{2^{n}}$ ．
（III）由 $S_{n}=\left(a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n+1}\right)-\frac{1}{2}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 得
$T_{n}-a_{1}+a_{n+1}-\frac{1}{2} T_{n}=S_{n}$ ．
所以 $T_{n}=2 S_{n}+2 a_{1}-2 a_{n+1}=12-\frac{n^{2}+4 n+6}{2^{n-1}}$ ．
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．