20．（12 分）（2008 ⋅ 四川）在数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中， $\mathrm{a}_{1}=1,2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)^{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ．
（I）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}-\frac{1}{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ；
（III）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 。
参考答案
(1) $a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n-1}}$; (2) $S_{n}=5-\frac{2 n+5}{2^{n}}$; (3) $T_{n}=2 S_{n}+2 a_{1}-2 a_{n+1}=12-\frac{n^{2}+4 n+6}{2^{n-1}}$