9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 与双曲线 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 有公共的焦点， $\mathrm{C}_{2}$ 的一条渐近线与以 $\mathrm{C}_{1}$ 的长轴为直径的圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点．若 $\mathrm{C}_{1}$ 恰好将线段 AB 三等分，则
（5分）（2011•浙江）已知椭圆 C _ 1 : x ^…——2011 高考数学第 9 题答案解析
2011_浙江卷 (2011·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ ，根据对称性易知 AB 为圆的直径且 A $B=2 a$ ，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程 $a^{2}-b^{2}=5$ ；设 $C_{1}$ 与 $y=2 x$ 在第一象限的交点的坐标为 $(x, 2 x)$ ，代入 $C_{1}$ 的方程得：$x^{2}=\frac{a^{2} b^{2}}{b^{2}+4 a^{2}}$ ；对称性知直线 $y=2 x$ 被 $C_{1}$ 截得的弦长 $=2 \sqrt{5} \mathrm{x}$ ，根据 $\mathrm{C}_{1}$ 恰好将线段 AB 三等分得： $2 \sqrt{5} \mathrm{x}=\frac{2 \mathrm{a}}{3}$ ，从而可解出 $\mathrm{a}^{2}, \mathrm{~b}^{2}$ 的值，故可得结论．
【解答】解：由题意， $\mathrm{C}_{2}$ 的焦点为 $( \pm \sqrt{5}, 0)$ ，一条渐近线方程为 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ ，根据对称性易知 $A B$ 为圆的直径且 $A B=2 a$
$\therefore \mathrm{C}_{1}$ 的半焦距 $\mathrm{c}=\sqrt{5}$ ，于是得 $\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=5$①
设 $C_{1}$ 与 $y=2 x$ 在第一象限的交点的坐标为 $(x, 2 x)$ ，代入 $C_{1}$ 的方程得：$x^{2}=\frac{a^{2} b^{2}}{b^{2}+4 a^{2}}$②，由对称性知直线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 被 $\mathrm{C}_{1}$ 截得的弦长 $=2 \sqrt{5} \mathrm{x}$ ，
由题得： $2 \sqrt{5} \mathrm{x}=\frac{2 \mathrm{a}}{3}$ ，所以 $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{3 \sqrt{5}}$③
由②③得 $a^{2}=11 b^{2}$④
由①④得 $\mathrm{a}^{2}=5.5, \mathrm{~b}^{2}=0.5$
故选C
【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎。
✅ 来源：2011年 · 浙江 · 2011_浙江卷 (2011·文) · 第 9 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 上。
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设不过原点 $O$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 E 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：$|M A| \cdot|M B|=|M C| \cdot|M D|$ 。
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（12分）设栯圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$ 是它的两个顶点 ，直线 $y=k x(k>0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与椭圆相交于 $E , F$ 两点．
（I）若 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，求 k 的值；
（II）求四边形AEBF面积的最大值．
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（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$
，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right|$ 、 $|A B|$ 、 $\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。