2011 浙江高考数学 2011_浙江卷 (2011·文) 第 9 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 与双曲线 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 有公共的焦点， $\mathrm{C}_{2}$ 的一条渐近线与以 $\mathrm{C}_{1}$ 的长轴为直径的圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点．若 $\mathrm{C}_{1}$ 恰好将线段 AB 三等分，则

Accepted Answer

【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ ，根据对称性易知 AB 为圆的直径且 A $B=2 a$ ，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程 $a^{2}-b^{2}=5$ ；设 $C_{1}$ 与 $y=2 x$ 在第一象限的交点的坐标为 $(x, 2 x)$ ，代入 $C_{1}$ 的方程得：$x^{2}=\frac{a^{2} b^{2}}{b^{2}+4 a^{2}}$ ；对称性知直线 $y=2 x$ 被 $C_{1}$ 截得的弦长 $=2 \sqrt{5} \mathrm{x}$ ，根据 $\mathrm{C}_{1}$ 恰好将线段 AB 三等分得： $2 \sqrt{5} \mathrm{x}=\frac{2 \mathrm{a}}{3}$ ，从而可解出 $\mathrm{a}^{2}, \mathrm{~b}^{2}$ 的值，故可得结论． 【解答】解：由题意， $\mathrm{C}_{2}$ 的焦点为 $( \pm \sqrt{5}, 0)$ ，一条渐近线方程为 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ ，根据对称性易知 $A B$ 为圆的直径且 $A B=2 a$ $	herefore \mathrm{C}_{1}$ 的半焦距 $\mathrm{c}=\sqrt{5}$ ，于是得 $\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=5$① 设 $C_{1}$ 与 $y=2 x$ 在第一象限的交点的坐标为 $(x, 2 x)$ ，代入 $C_{1}$ 的方程得：$x^{2}=\frac{a^{2} b^{2}}{b^{2}+4 a^{2}}$②，由对称性知直线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 被 $\mathrm{C}_{1}$ 截得的弦长 $=2 \sqrt{5} \mathrm{x}$ ， 由题得： $2 \sqrt{5} \mathrm{x}=\frac{2 \mathrm{a}}{3}$ ，所以 $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{3 \sqrt{5}}$③ 由②③得 $a^{2}=11 b^{2}$④ 由①④得 $\mathrm{a}^{2}=5.5, \mathrm{~b}^{2}=0.5$ 故选C 【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎。

2011 高考数学第 9 题答案解析

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