17．（4分）（2011 • 浙江）若数列 $\left\{\mathrm{n}(\mathrm{n}+4)\left(\frac{2}{3}\right)^{\mathrm{n}}\right\}$ 中的最大项是第 k 项，则 $\mathrm{k}=4$
参考答案
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（4分）（2011 • 浙江）若数列 n ( n +4)…——2011 高考数学第 17 题答案解析
2011_浙江卷 (2011·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】数列的函数特性．
【专题】点列、递归数列与数学归纳法。
【分析】求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．
【解答】解：令 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}(\mathrm{n}+4)\left(\frac{2}{3}\right) \quad \mathrm{n}$ ，
假设 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)(n+5)\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{n(n+4)\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}=\frac{2(n+1)(n+5)}{3(n+4)} \geq 1$ ，
则 $2(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+5) \geq 3 \mathrm{n}(\mathrm{n}+4), ~$ 即 $\mathrm{n}^{2} \leq 10$ ，所以 $\mathrm{n}<4$ ，
又 $n$ 是整数，即 $n \leq 3$ 时，$a_{n+1}>a_{n}$ ，
当 $n \geq 4$ 时，$a_{n+1}<a_{n}$ ，
所以 $a_{4}$ 最大。
故答案为： 4 。
【点评】本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列最值的常用方式。
✅ 来源：2011年 · 浙江 · 2011_浙江卷 (2011·文) · 第 17 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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