2021 高考数学第 20 题答案解析

20．（16分）已知函数 $f(x)=\sqrt{|x+a|-a}-x$ 。
（1）若 $a=1$ ，求函数的定义域；
（2）若 $a \neq 0$ ，若 $f(a x)=a$ 有2个不同实数根，求 $a$ 的取值范围；
（3）是否存在实数 $a$ ，使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性？若存在，求出 $a$ 的取值范围。
【思路分析】（1）把 $a=1$ 代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于 0 求解绝对值的不等式得答案；
②$f(a x)=a \Leftrightarrow \sqrt{|a x+a|-a}=a x+a$ ，设 $a x+a=t \ldots 0$ ，得 $a=t-t^{2}, ~ t \ldots 0$ ，求得等式右边关于 $t$ 的函数的值域可得 $a$ 的取值范围；
（3）分 $x \ldots-a$ 与 $x<-a$ 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性的 $a$ 的范围。