（16分）已知函数 f(x)= |x+a|-a -x。 （…——2021 高考数学第 20 题答案解析

【解析】：（1）当 $a=1$ 时，$f(x)=\sqrt{|x+1|-1}-x$ ，
由 $|x+1|-1 \ldots 0$ ，得 $|x+1| \ldots 1$ ，解得 $x$ ，-2 或 $x \ldots 0$ ．

∴ 函数的定义域为 $(-\infty,-2] \bigcup[0,+\infty)$ ；
②$f(a x)=\sqrt{|a x+a|-a}-a x$ ，
$f(a x)=a \Leftrightarrow \sqrt{|a x+a|-a}=a x+a$ ，
设 $a x+a=t \ldots 0, ~ \therefore \sqrt{t-a}=t$ 有两个不同实数根，整理得 $a=t-t^{2}, ~ t \ldots 0$ ，
$\therefore a=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}, ~ t \ldots 0$ ，当且仅当 $0, ~ a<\frac{1}{4}$ 时，方程有 2 个不同实数根，
又 $a \neq 0, ~ \therefore a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ ；
（3）当 $x \ldots-a$ 时，$f(x)=\sqrt{|x+a|-a}-x=\sqrt{x}-x=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}$ ，在 $\left[\frac{1}{4}, ~+\infty\right)$ 上单调递减，
此时需要满足 $-a . . . \frac{1}{4}$ ，即 $a,-\frac{1}{4}$ ，函数 $f(x)$ 在 $[-a,+\infty)$ 上递减；
当 $x<-a$ 时，$f(x)=\sqrt{|x+a|-a}-x=\sqrt{-x-2 a}-x$ ，在 $(-\infty, ~-2 a]$ 上递减，
$\because a,-\frac{1}{4}<0, ~ \therefore-2 a>-a>0$ ，即当 $a, ~-\frac{1}{4}$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-a)$ 上递减．
综上，当 $a \in\left(-\infty, ~-\frac{1}{4}\right]$ 时，函数 $f(x)$ 在定义域 $R$ 上连续，且单调递减．
【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题。