（14 分）已知抛物线 C: y^ 2 =2 p x 过点…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质；$K N$ ：直线与抛物线的综合．
【专题】11：计算题；34：方程思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程。

【分析】（1）根据抛物线过点 $\mathrm{P}(1,1)$ ．代值求出 p ，即可求出抛物线 C 的方程，焦点坐标和准线方程；
②设过点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的直线方程为 $y=k x+\frac{1}{2}, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，根据韦达定理得到 $x_{1}+x_{2}=\frac{1-k}{k^{2}}, \quad x_{1} x_{2}=\frac{1}{4 k^{2}}$ ，根据中点的定义即可证明．
【解答】解：（1）$\because \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}$ 过点 $\mathrm{P}(1,1)$ ，
$\therefore 1=2 p$ ，
解得 $\mathrm{p}=\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}$ ，
∴ 焦点坐标为 $\left(\frac{1}{4}, 0\right)$ ，准线为 $\mathrm{x}=-\frac{1}{4}$ ，
（2）证明：设过点（ $0, \frac{1}{2}$ ）的直线方程为
$\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\frac{1}{2}, \mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{N}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，
∴ 直线 OP 为 $y=x$ ，直线 $O N$ 为：$y=\frac{y_{2}}{x_{2}} x$ ，

由题意知 $A\left(x_{1}, x_{1}\right), B\left(x_{1}, \frac{x_{1} y_{2}}{x_{2}}\right)$ ，

由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+\frac{1}{2} \\ y^{2}=x\end{array}\right.$ 可得 $k^{2} x^{2}+(k-1) x+\frac{1}{4}=0$,
$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=\frac{1-\mathrm{k}}{\mathrm{k}^{2}}, \quad \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=\frac{1}{4 \mathrm{k}^{2}}$
$\therefore y_{1}+\frac{x_{1} y_{2}}{x_{2}}=k x_{1}+\frac{1}{2}+\frac{x_{1}\left(k x_{2}+\frac{1}{2}\right)}{x_{2}}=2 k x_{1}+\frac{x_{1}+x_{2}}{2 x_{2}}=2 k x_{1}+\frac{\frac{1-k}{k^{2}}}{2 \times \frac{1}{4 k^{2} x_{1}}}=2 k x_{1}+(1-k)$
－ $2 \mathrm{x}_{1}=2 \mathrm{x}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{A}$ 为线段 BM 的中点．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．