（13 分）设函数 f ( x )= [ ax ^ 2 -…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【考点】6D：利用导数研究函数的极值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。

【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用；53：导数的综合应用．

【分析】（I）求得 $f(x)$ 的导数，由导数的几何意义可得 $f^{\prime}(2)=0$ ，解方程可得 a 的值；
（II）求得 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的导数，注意分解因式，讨论 $\mathrm{a}=0, \mathrm{a}=1, \mathrm{a}>1,0<\mathrm{a}<1, \mathrm{a}<$ 0 ，由极小值的定义，即可得到所求 a 的范围．

【解答】解：（I）函数 $f(x)=\left[a x^{2}-(3 a+1) x+3 a+2\right] e^{x}$ 的导数为
$\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\left[\mathrm{ax}^{2}-(\mathrm{a}+1) \mathrm{x}+1\right] \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$.
曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(2, \mathrm{f}(2))$ 处的切线斜率为 0 ，
可得 $(4 a-2 a-2+1) e^{2}=0$ ，
解得 $a=\frac{1}{2}$ ；
（II）$f(x)$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=\left[a x^{2}-(a+1) x+1\right] e^{x}=(x-1)(a x-1) e^{x}$ ，
若 $\mathrm{a}=0$ 则 $\mathrm{x}<1$ 时， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})>0, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 递增； $\mathrm{x}>1, \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})<0, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 递减。
$x=1$ 处 $f(x)$ 取得极大值，不符题意；
若 $a>0$ ，且 $a=1$ ，则 $f^{\prime}(x)=(x-1)^{2} e^{x} \geq 0, f(x)$ 递增，无极值；
若 $\mathrm{a}>1$ ，则 $\frac{1}{\mathrm{a}}<1, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(\frac{1}{\mathrm{a}}, 1\right)$ 递减；在 $(1,+\infty),\left(-\infty, \frac{1}{\mathrm{a}}\right)$ 递增，
可得 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值；
若 $0<\mathrm{a}<1$ ，则 $\frac{1}{\mathrm{a}}>1, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(1, \frac{1}{\mathrm{a}}\right)$ 递减；在 $\left(\frac{1}{\mathrm{a}},+\infty\right),(-\infty, 1)$ 递增，
可得 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，不符题意；
若 $\mathrm{a}<0$ ，则 $\frac{1}{\mathrm{a}}<1, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(\frac{1}{\mathrm{a}}, 1\right)$ 递增；在 $(1,+\infty),\left(-\infty, \frac{1}{\mathrm{a}}\right)$ 递减，
可得 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，不符题意。
综上可得， a 的范围是 $(1,+\infty)$ ．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．