（5分）已知点 M(-1,1) 和抛物线 C: y^ 2…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质；$K N$ ：直线与抛物线的综合．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由已知可求过 $A$ ，$B$ 两点的直线方程为 $y=k(x-1)$ ，然后联立直线与抛物线方程组可得，$k^{2} x^{2}-2\left(2+k^{2}\right) x+k^{2}=0$ ，可表示 $x_{1}+x_{2}, x_{1} x_{2}, y_{1}+y_{2}, y_{1} y_{2}$ ，由 $\angle A M B=90^{\circ}$ ，向量的数量积为 0 ，代入整理可求 $k$ ．

【解答】解：∵ 抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点 $F(1,0)$ ，
∴ 过 $A, B$ 两点的直线方程为 $y=k(x-1)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 x \\ y=k(x-1)\end{array}\right.$ 可得，$k^{2} x^{2}-2\left(2+k^{2}\right) x+k^{2}=0$ ，
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
则 $x_{1}+x_{2}=\frac{4+2 k^{2}}{k^{2}}, x_{1} x_{2}=1$ ，
$\therefore y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}-2\right)=\frac{4}{k}, y_{1} y_{2}=k^{2}\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)=k^{2}\left[x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)+1\right]=-$ 4，
$\because \mathrm{M}(-1,1)$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{MA}}=\left(\mathrm{x}_{1}+1, \mathrm{y}_{1}-1\right), ~ \overrightarrow{\mathrm{MB}}=\left(\mathrm{x}_{2}+1, \mathrm{y}_{2}-1\right)$ ，
$\because \angle \mathrm{AMB}=90^{\circ}, \quad \therefore \overrightarrow{\mathrm{MA}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$
$\therefore\left(\mathrm{x}_{1}+1\right)\left(\mathrm{x}_{2}+1\right)+\left(\mathrm{y}_{1}-1\right)\left(\mathrm{y}_{2}-1\right)=0$ ，
整理可得，$x_{1} x_{2}+\left(x_{1}+x_{2}\right)+y_{1} y_{2}-\left(y_{1}+y_{2}\right)+2=0$ ，
$\therefore 1+2+\frac{4}{k^{2}}-4-\frac{4}{k}+2=0$ ，
即 $\mathrm{k}^{2}-4 \mathrm{k}+4=0$,
$\therefore \mathrm{k}=2$ ．
故答案为： 2

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量。