2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（12分）已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ．
（ I ）证明：点 F 在直线 BD 上；
（II）设 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=\frac{8}{9}$ ，求 $	riangle B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程．

Accepted Answer

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合． 【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题． 【分析】（ I ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点 K 的直线 L 方程代入抛物线方程消去 x ，设 L 与 C 的交点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，根据韦达定理求得 $y_{1}+y_{2}$ 和 $y_{1} y_{2}$ 的表达式，进而根据点 A 求得点 D 的坐标，进而表示出直线 BD 和 BF 的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为 $4 x_{2}=y 2^{2}$ ，依题意可知等式成立进而推断出 $k_{1}=k_{2}$ 原 式得证。 （II）首先表示出 $\overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ 结果为 $\frac{8}{9}$ 求得 m ，进而求得 $\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}$ 的值，推知BD的斜率 ，则 $B D$ 方程可知，设 $M$ 为 $(a, 0), M$ 到 $x=\frac{4}{3} y-1$ 和到 $B D$ 的距离相等，进而求得 a 和圆的半径，则圆的方程可得。 【解答】解：（ I ）抛物线 $C: y^{2}=4 x$（1）的焦点为 $F(1,0)$ ， 设过点 $K(-1,0)$ 的直线 $L: x=m y-1$ ， 代入①，整理得 $y^{2}-4 m y+4=0$, 设 $L$ 与 $C$ 的交点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $y_{1}+y_{2}=4 m, \quad y_{1} y_{2}=4$ ， 点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $D$ 为 $\left(x_{1},-y_{1}\right)$ 。 BD的斜率 $k_{1}=\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{4 m}{\left(m y_{2}-1\right)\left(m y_{1}-1\right)}=\frac{4}{y_{2}-y_{1}}$ ， $B F$ 的斜率 $\mathrm{k}_{2}=\frac{\mathrm{y}_{2}}{\mathrm{x}_{2}-1}$ ． 要使点 F 在直线 BD 上 需 $k_{1}=k_{2}$ 需4 $\left(x_{2}-1\right)=y_{2}\left(y_{2}-y_{1}\right)$ ， 需 $4 x_{2}=y 2^{2}$, 上式成…

2010 高考数学第 21 题答案解析

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