（12分）已知抛物线 C: y^ 2 =4 x 的焦点为…——2010 高考数学第 21 题答案解析

点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $D$ 为 $\left(x_{1},-y_{1}\right)$ 。
BD的斜率 $k_{1}=\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{4 m}{\left(m y_{2}-1\right)\left(m y_{1}-1\right)}=\frac{4}{y_{2}-y_{1}}$ ，
$B F$ 的斜率 $\mathrm{k}_{2}=\frac{\mathrm{y}_{2}}{\mathrm{x}_{2}-1}$ ．
要使点 F 在直线 BD 上
需 $k_{1}=k_{2}$
需4 $\left(x_{2}-1\right)=y_{2}\left(y_{2}-y_{1}\right)$ ，
需 $4 x_{2}=y 2^{2}$,
上式成立，$\therefore \mathrm{k}_{1}=\mathrm{k}_{2}$ ，
∴ 点 F 在直线 BD 上．
（II） $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=\left(x_{1}-1, y_{1}\right)\left(x_{2}-1, y_{2}\right)=\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)+y_{1} y_{2}=\left(m y_{1}-2\right.$
）$\left(m y_{2}-2\right)+y_{1} y_{2}=4\left(m^{2}+1\right)-8 m^{2}+4=8-4 m^{2}=\frac{8}{9}$ ，
$\therefore m^{2}=\frac{16}{9}, m= \pm \frac{4}{3}$ ．
$y_{2}-y_{1}=\sqrt{16 m^{2}-16}=4 \sqrt{m^{2}-1}=\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ ，
$\therefore \mathrm{k}_{1}=\frac{3}{\sqrt{7}}, \quad$ BD： $\mathrm{y}=\frac{3}{\sqrt{7}}(\mathrm{x}-1)$ ．
易知圆心 $M$ 在 $x$ 轴上，设为 $(a, 0), M$ 到 $x=\frac{4}{3} y-1$ 和到 $B D$ 的距离相等，即

$|a+1| \times \frac{3}{5}=\left\lvert\, \quad\left(\left.\frac{3}{\sqrt{7}}(a-1) \right\rvert\, \times \frac{\sqrt{7}}{4}\right.\right.$,
$\therefore 4|a+1|=5|a-1|, \quad-1解得 $\mathrm{a}=\frac{1}{9}$ ．
∴ 半径 $\mathrm{r}=\frac{2}{3}$ ，
$\therefore \triangle B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程为 $\left(x-\frac{1}{9}\right)^{2}+y^{2}=\frac{4}{9}$ ．
【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想。