（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)= e ^ x…——2013 高考数学第 21 题答案解析

$\because \varphi(0)=1-1=0, \therefore \varphi(x)$ 存在零点 $x=0$，又．$\varphi^{\prime}(x)=e^{x}-x-1$，令 $\mathrm{h}(x)=\varphi^{\prime}(x)$，
可求得 $\mathrm{h}(x)=\varphi^{\prime}(x)$ 在 $\mathrm{x}=0$ 处有唯一的极小值 0，即 $\varphi^{\prime}(x) \geq 0$
故曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）与曲线 $y=\frac{1}{2} x^{2} \div x+1$ 有唯一公共点。
（III）设 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}-f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}-e^{\frac{a+b}{2}}=$
$=\frac{e^{b}-e^{a}-b e^{\frac{a+b}{2}}+a e^{\frac{a+b}{2}}}{b-a}=\frac{e^{\frac{a+b}{2}}}{b-a} \cdot\left[e^{\frac{b-a}{2}}-e^{\frac{a-b}{2}}-(b-a)\right]$
设函数 $u(x)=e^{x}-\frac{1}{e^{x}}-2 x(x \geq 0)$，则 $u^{\prime}(x)=e^{x}+\frac{1}{e^{x}}-2 \geq 2 \sqrt{e^{x} \times \frac{1}{e^{x}}}-2=0$，
$\therefore u^{\prime}(x) \geq 0$（仅当 $\mathrm{x}=0$ 时等号成立），$\therefore u(x)$ 单调谜增。

当 $x>0$ 时，$u(x)>u(0)=0$．令 $x=\frac{b-a}{2}$，则 $e^{\frac{b-a}{2}}-e^{\frac{a-b}{2}}-(b-a)>0$
$\therefore \frac{f(b)-f(a)}{b-a}>f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。
【考点定位】本题考查函数、导数、不等式、参数等问题。属于难题。