（本小题满分 12 分） 设椭圆 C: x^ 2 a^ 2…——2011 高考数学第 16 题答案解析

【分析】①由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解．

【解】（1）将点 $(0,4)$ 代入 $C$ 的方程得 $\frac{16}{b^{2}}=1, \quad \therefore \mathrm{~b}=4$ ，又 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$ 得 $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{9}{25}$ ，即 $1-\frac{16}{a^{2}}=\frac{9}{25}, \quad \therefore a=5$
$\therefore C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$
（2）过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线方程为 $y=\frac{4}{5}(x-3)$ ，
设直线与 C 的交点为 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，将直线方程 $y=\frac{4}{5}(x-3)$ 代入 C 的方程 ，得
$\frac{x^{2}}{25}+\frac{(x-3)^{2}}{25}=1$ ，即 $x^{2}-3 x-8=0$ ，解得 $x_{1}=\frac{3-\sqrt{41}}{2}, x_{2}=\frac{3+\sqrt{41}}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{AB}$ 的中点坐标 $\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{3}{2}, \bar{y}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{2}{5}\left(x_{1}+x_{2}-6\right)=-\frac{6}{5}$ ，

即所截线段的中点坐标为 $\left(\frac{3}{2},-\frac{6}{5}\right)$ ．
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．