2012_老新课标卷 (2012·理)
18．（12分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 $y$（单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n \in N$ ）的函数解析式．
（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
| 日需求量 n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．
【专题】15：综合题．
【分析】①根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
②（i）$X$ 可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到 $X$ 的分布列，数学期望及方差；
（ii）求出进 17 枝时当天的利润，与购进 16 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
【解答】解：①当 $n \geq 16$ 时，$y=16 \times(10-5)=80$ ；
当 $n \leq 15$ 时，$y=5 n-5(16-n)=10 n-80$ ，得：$y=\left\{\begin{array}{l}10 n-80(n \leqslant 15) \\ 80 \quad(n \geqslant 16)\end{array}(n \in N)\right.$
②（i）$X$ 可取60，70，80，当日需求量 $n=14$ 时，$X=60, n=15$ 时，$X=70$ ，其他情况 $X=80$ ，
$$ \begin{aligned} & P(X=60)=\frac{\text { 频数 }}{\text { 总数 }}=\frac{10}{10+20+16+16+15+13+10}=\frac{10}{100}=0.1, P(X=70)=\frac{20}{100} 0.2, P \\ & X=80)=1-0.1-0.2=0.7, \end{aligned} $$
X的分布列为
| $X$ | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|
| $P$ | 0.1 | 0.2 | 0.7 |
EX $=60 \times 0.1+70 \times 0.2+80 \times 0.7=76$
$\mathrm{DX}=16^{2} \times 0.1+6^{2} \times 0.2+4^{2} \times 0.7=44$
（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为 $y=(14 \times 5-3 \times 5) \times 0.1+(15 \times 5-2 \times 5)$
$$ \times 0.2+(16 \times 5-1 \times 5) \times 0.16+17 \times 5 \times 0.54=76.4 $$
$\because 76.4>76$ ，∴ 应购进17枝
【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．